题目 已知函数 $f\left(x\right) = 2{x^3}- 3x$． 问题1 求 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[ - 2,1\right]$ 上的最大值； 答案1 函数 $f(x)$ 在区间 $[-2,1]$ 上的最大值为 $\sqrt2$ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=6\left(x+\dfrac{\sqrt 2}2\right)\left(x-\dfrac{\sqrt 2}2\right),$$于是函数 $f(x)$ 在 $\left[-2,-\dfrac{\sqrt 2}2\right)$ 上单调递增，在 $\left(-\dfrac{\sqrt 2}2,\dfrac{\sqrt 2}2\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{\sqrt 2}2,1\right]$ 上单调递增，在 $x=-\dfrac{\sqrt 2}2$ 处取得极大值为 $\sqrt 2$，在 $x=1$ 处的函数值为 $f(1)=-1$，因此函数 $f(x)$ 在区间 $[-2,1]$ 上的最大值为$$\max\left\{f\left(-\dfrac{\sqrt 2}2\right),f(1)\right\}=\max\left\{\sqrt 2,-1\right\}=\sqrt 2.$$ 备注1 问题2 若过点 $P\left(1,t\right)$ 存在 $3$ 条直线与曲线 $y = f\left(x\right)$ 相切，求 $t$ 的取值范围； 答案2 $t$ 的取值范围为 $(-3,-1)$ 解析2 设过点 $P(1,t)$ 的直线与曲线 $y=f(x)$ 相切，且切点横坐标为 $m$，则切线方程为$$y=(6m^2-3)(x-m)+2m^3-3m,$$切线经过点 $(1,t)$，因此$$t=(6m^2-3)(1-m)+2m^3-3m,$$即 $t=-4m^3+6m^2-3$．<br/>令 $g(m)=-4m^3+6m^2-3$，则函数 $g(m)$ 的导函数$$g'(m)=12m(1-m),$$于是函数 $g(m)$ 在 $(-\infty ,0)$ 上单调递减，在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty )$ 上单调递减．<br/>依题意，直线 $y=t$ 与函数 $g(m)$ 的图象有三个不同的公共点，因此 $t$ 的取值范围为 $\left(g(0),g(1)\right)$，即 $(-3,-1)$． 备注2 问题3 问过点 $A\left( - 1,2\right)$，$B\left(2,10\right)$，$C\left(0,2\right)$ 分别存在几条直线与曲线 $y = f\left(x\right)$ 相切？（只需写出结论） 答案3 过点 $A(-1,2)$ 存在 $3$ 条直线与曲线 $y=f(x)$ 相切；<br/>过点 $B(2,10)$ 存在 $2$ 条直线与曲线 $y=f(x)$ 相切；<br/>过点 $C(0,2)$ 存在 $1$ 条直线与曲线 $y=f(x)$ 相切 解析3 过点 $A(-1,2)$ 存在 $3$ 条直线与曲线 $y=f(x)$ 相切；<br/>过点 $B(2,10)$ 存在 $2$ 条直线与曲线 $y=f(x)$ 相切；<br/>过点 $C(0,2)$ 存在 $1$ 条直线与曲线 $y=f(x)$ 相切． 备注3 一般地，如图，过三次函数 $f\left( x \right)$ 图象的对称中心作切线 $l$，则坐标平面被切线 $l$ 和函数 $f\left( x \right)$ 的图象分割为四个区域，有以下结论：<img src="/static/images/6c25121f3d008027ad5146d1269aa3b1.png" class="img-responsive" /><case>情形一</case>过区域 I、III 内的点作 $y = f\left( x \right)$ 的切线，有且仅有 $3$ 条；<br/><case>情形二</case>过区域 II、IV 内的点以及对称中心作 $y = f\left( x \right)$ 的切线，有且仅有 $1$ 条；<br/><case>情形三</case>过切线 $l$ 或函数 $f\left( x \right)$ 图象（除去对称中心）上的点作 $y = f\left( x \right)$ 的切线，有且仅有 $2$ 条．