如图1，将一个直角三角板的直角顶点 $P$ 放在正方形 $ABCD$ 的对角线 $BD$ 上滑动，并使其一条直角边始终经过点 $A$，另一条直角边与 $BC$ 相交于点 $E$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求证：$PA=PE$；标注答案略解析如图，过 $P$ 作 $PM\perp AB$ 于点 $M$，$PN\perp BC$ 于点 $N$．
则 $PM=PN$，$\angle MPN=90^\circ$．
由已知可得 $\angle APE=90^\circ$，
所以 $\angle APM=\angle EPN$，
所以 $\triangle APM\cong\triangle EPN$．
故 $AP=PE$． -
如图2，将 $(1)$ 中的正方形变为矩形，其余条件不变，且 $AD=10$，$DC=8$，求 $AP:PE$ 的值；标注答案$\dfrac{AP}{PE}=\dfrac54$解析过 $P$ 作 $PM\perp AB$ 于 $M$，$PN\perp BC$ 于 $N$．
则 $PM\parallel AD$，$PN\parallel CD$．
所以 $\triangle BPM\sim\triangle BDA$，$\triangle BNP\sim\triangle BCD$，
可得 $\dfrac{PM}{AD}=\dfrac{BP}{BD}=\dfrac{PN}{CD}$．
所以 $\dfrac{PM}{PN}=\dfrac{AD}{CD}=\dfrac54$．
易证 $\triangle APM\backsim\triangle EPN$，
所以 $\dfrac{AP}{PE}=\dfrac{PM}{PN}=\dfrac54$． -
如图3，在 $(2)$ 的条件下，当 $P$ 滑动到 $BD$ 的延长线上时，$AP:PE$ 的值是否发生变化？标注答案$AP:PE$ 的值不变解析如图，理由同第2问解答．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
