已知 $x,y,z\geqslant 0$，$p$ 是一个给定的实数，求 $f_p=\displaystyle \sum\limits_{cyc}\left(\dfrac{x}{y+z}\right)^p$ 的最小值关于 $p$ 的表达式 $S(p)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$S(p)=\begin{cases} \dfrac{3}{2^p},&p\in (-\infty,0]\cup\left({\log_2}3-1,+\infty\right),\\
2,&p\in \left(0,{\log_2}3-1\right].\end{cases}$
2,&p\in \left(0,{\log_2}3-1\right].\end{cases}$
【解析】
不妨设 $x+y+z=1$ 且 $x\geqslant y\geqslant z$，则 $z\in\left[0,\dfrac 13\right]$，记 $r={\log_2}3-1$．
情形一 $p\leqslant 0$．
此时\[\begin{split} f_p&=\left(\dfrac{y+z}x\right)^{-p}+\left(\dfrac{z+x}y\right)^{-p}+\left(\dfrac{x+y}z\right)^{-p}\\
&\geqslant 3\left(\dfrac{y+z}x\cdot \dfrac{z+x}y\cdot \dfrac{x+y}z\right)^{-\frac p3}\\
&\geqslant 3\left(\dfrac{2\sqrt{yz}}x\cdot \dfrac{2\sqrt{xy}}y\cdot \dfrac{2\sqrt{yz}}x\right)^{-\frac p3}\\
&=\dfrac{3}{2^p},\end{split}\]等号当且仅当 $x=y=z$ 时取得．因此 $f_p$ 的最小值 $S(p)=\dfrac{3}{2^p}$．
情形二 $0<p\leqslant \dfrac 12$．
此时$$\left(\dfrac{x}{y+z}\right)^p=\dfrac{x^{2p}}{x^p(y+z)^p}\geqslant \dfrac{2x^{2p}}{x^{2p}+(y+z)^{2p}}\geqslant \dfrac{2x^{2p}}{x^{2p}+y^{2p}+z^{2p}},$$因此有$$f_p\geqslant \sum_{cyc}\dfrac{2x^{2p}}{x^{2p}+y^{2p}+z^{2p}}=2,$$等号当 $x=y=\dfrac 12,z=0$ 时取得．因此 $f_p$ 的最小值 $S(p)=2$．
情形三 $\dfrac 12<p\leqslant r$．
此时根据幂平均不等式和琴生不等式（注意：因为函数 $y=\sqrt{\dfrac{x}{1-x}}$ 的两阶导函数为$$y''=\dfrac 14x^{-\frac 32}(1-x)^{-\frac 52}(4x-1),$$所以它在区间 $\left[\dfrac 14,1\right]$ 上为下凸函数），有\[\begin{split} f_p&\geqslant 2\left[\dfrac 12\left(\sqrt{\dfrac{x}{1-x}}+\sqrt{\dfrac{y}{1-y}}\right)\right]^{2p}+\left(\dfrac{z}{1-z}\right)^p\\
&\geqslant 2\left(\sqrt{\dfrac{\frac{x+y}2}{1-\frac{x+y}2}}\right)^{2p}+\left(\dfrac{z}{1-z}\right)^p\\
&=2\left[\dfrac{x+y}{2-(x+y)}\right]^p+\left({\dfrac{z}{1-z}}\right)^p\\
&=2\left(\dfrac{1-z}{1+z}\right)^p+\left(\dfrac{z}{1-z}\right)^p,\end{split}\]令 $t=\dfrac{z}{1-z}$，则 $t\in \left[0,\dfrac 12\right]$，且 $z=\dfrac{t}{1+t}$，上式变为$$\varphi(t)=2(1+2t)^{-p}+t^p,t\in \left[0,\dfrac 12\right],$$其导函数$$\varphi'(t)=\dfrac{p}{t^{1-p}(1+2t)^{1+p}}\cdot \left[(1+2t)^{1+p}-4t^{1-p}\right],$$设 $\mu(t)=(1+2t)^{1+p}-4t^{1-p}$，则其导函数$$\mu'(t)=2(1+p)(1+2t)^p-4(1-p)t^{-p}.$$由于 $\mu'(t)$ 单调递增，而 $\mu'\left(\dfrac 12\right)=3^p(6p-2)>0$，于是 $\mu(t)$ 先单调递减，再单调递增．而 $\mu(0)=1$，$\mu\left(\dfrac 12\right)=0$，因此 $\varphi(t)$ 先单调递增，再单调递减．此时$$S(p)=\min\left\{\varphi(0),\varphi\left(\dfrac 12\right)\right\}=\min\left\{\dfrac{3}{2^p},2\right\}=2.$$当 $\dfrac 12<p<r$ 时，$x=y=\dfrac 12,z=0$ 时取到最小值；
当 $p=r$ 时，$x=y=\dfrac 12,z=0$ 以及 $x=y=z$ 时，同时取到最小值．
情形四 $p>r$．
此时根据幂平均不等式有$$f_p\geqslant 3\left[\dfrac 13\sum_{cyc}\left(\dfrac{x}{y+z}\right)^r\right]^{\frac pr}\geqslant 3\left(\dfrac 23\right)^{\frac pr}=3\left(\dfrac {2}{2^{r+1}}\right)^{\frac pr}=\dfrac{3}{2^p},$$等号当 $x=y=z$ 时取得．因此 $S(p)=\dfrac{3}{2^p}$．
综上所述，所求 $f_p$ 的最小值的表达式$$S(p)=\begin{cases} \dfrac{3}{2^p},&p\in (-\infty,0]\cup\left({\log_2}3-1,+\infty\right),\\
2,&p\in \left(0,{\log_2}3-1\right].\end{cases}$$
此时\[\begin{split} f_p&=\left(\dfrac{y+z}x\right)^{-p}+\left(\dfrac{z+x}y\right)^{-p}+\left(\dfrac{x+y}z\right)^{-p}\\
&\geqslant 3\left(\dfrac{y+z}x\cdot \dfrac{z+x}y\cdot \dfrac{x+y}z\right)^{-\frac p3}\\
&\geqslant 3\left(\dfrac{2\sqrt{yz}}x\cdot \dfrac{2\sqrt{xy}}y\cdot \dfrac{2\sqrt{yz}}x\right)^{-\frac p3}\\
&=\dfrac{3}{2^p},\end{split}\]等号当且仅当 $x=y=z$ 时取得．因此 $f_p$ 的最小值 $S(p)=\dfrac{3}{2^p}$．
此时$$\left(\dfrac{x}{y+z}\right)^p=\dfrac{x^{2p}}{x^p(y+z)^p}\geqslant \dfrac{2x^{2p}}{x^{2p}+(y+z)^{2p}}\geqslant \dfrac{2x^{2p}}{x^{2p}+y^{2p}+z^{2p}},$$因此有$$f_p\geqslant \sum_{cyc}\dfrac{2x^{2p}}{x^{2p}+y^{2p}+z^{2p}}=2,$$等号当 $x=y=\dfrac 12,z=0$ 时取得．因此 $f_p$ 的最小值 $S(p)=2$．
此时根据幂平均不等式和琴生不等式（注意：因为函数 $y=\sqrt{\dfrac{x}{1-x}}$ 的两阶导函数为$$y''=\dfrac 14x^{-\frac 32}(1-x)^{-\frac 52}(4x-1),$$所以它在区间 $\left[\dfrac 14,1\right]$ 上为下凸函数），有\[\begin{split} f_p&\geqslant 2\left[\dfrac 12\left(\sqrt{\dfrac{x}{1-x}}+\sqrt{\dfrac{y}{1-y}}\right)\right]^{2p}+\left(\dfrac{z}{1-z}\right)^p\\
&\geqslant 2\left(\sqrt{\dfrac{\frac{x+y}2}{1-\frac{x+y}2}}\right)^{2p}+\left(\dfrac{z}{1-z}\right)^p\\
&=2\left[\dfrac{x+y}{2-(x+y)}\right]^p+\left({\dfrac{z}{1-z}}\right)^p\\
&=2\left(\dfrac{1-z}{1+z}\right)^p+\left(\dfrac{z}{1-z}\right)^p,\end{split}\]令 $t=\dfrac{z}{1-z}$，则 $t\in \left[0,\dfrac 12\right]$，且 $z=\dfrac{t}{1+t}$，上式变为$$\varphi(t)=2(1+2t)^{-p}+t^p,t\in \left[0,\dfrac 12\right],$$其导函数$$\varphi'(t)=\dfrac{p}{t^{1-p}(1+2t)^{1+p}}\cdot \left[(1+2t)^{1+p}-4t^{1-p}\right],$$设 $\mu(t)=(1+2t)^{1+p}-4t^{1-p}$，则其导函数$$\mu'(t)=2(1+p)(1+2t)^p-4(1-p)t^{-p}.$$由于 $\mu'(t)$ 单调递增，而 $\mu'\left(\dfrac 12\right)=3^p(6p-2)>0$，于是 $\mu(t)$ 先单调递减，再单调递增．而 $\mu(0)=1$，$\mu\left(\dfrac 12\right)=0$，因此 $\varphi(t)$ 先单调递增，再单调递减．此时$$S(p)=\min\left\{\varphi(0),\varphi\left(\dfrac 12\right)\right\}=\min\left\{\dfrac{3}{2^p},2\right\}=2.$$当 $\dfrac 12<p<r$ 时，$x=y=\dfrac 12,z=0$ 时取到最小值；
当 $p=r$ 时，$x=y=\dfrac 12,z=0$ 以及 $x=y=z$ 时，同时取到最小值．
此时根据幂平均不等式有$$f_p\geqslant 3\left[\dfrac 13\sum_{cyc}\left(\dfrac{x}{y+z}\right)^r\right]^{\frac pr}\geqslant 3\left(\dfrac 23\right)^{\frac pr}=3\left(\dfrac {2}{2^{r+1}}\right)^{\frac pr}=\dfrac{3}{2^p},$$等号当 $x=y=z$ 时取得．因此 $S(p)=\dfrac{3}{2^p}$．
综上所述，所求 $f_p$ 的最小值的表达式$$S(p)=\begin{cases} \dfrac{3}{2^p},&p\in (-\infty,0]\cup\left({\log_2}3-1,+\infty\right),\\
2,&p\in \left(0,{\log_2}3-1\right].\end{cases}$$
答案
解析
备注
