题目 已知函数 $f(x)=x{\mathrm e}^{-x}$，函数 $y=g(x)$ 与函数 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称． 问题1 证明：当 $x>1$ 时，$f(x)>g(x)$； 答案1 略 解析1 由题意知 $g(x)=f(2-x)$，令$$h(x)=f(x)-g(x)=x{\rm e}^{-x}+(x-2){\rm e}^{x-2},x\geqslant 1.$$对 $h(x)$ 求导得$$h'(x)=(x-1)({\rm e}^{x-2}-{\rm e}^{-x}).$$当 $x>1$ 时，$$x-1>0,{\rm e}^{x-2}>{\rm e}^{-1}>{\rm e}^{-x},$$从而有 $h'(x)>0$，所以 $h(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递增，$h(x)\geqslant h(1)=0$，所以 $x>1$ 时，有 $f(x)>g(x)$． 备注1 问题2 如果 $x_1\neq x_2$ 且 $f(x_1)=f(x_2)$，证明：$x_1+x_2>2$． 答案2 略 解析2 对 $f(x)$ 求导得$$f'(x)=(1-x){\rm e}^{-x}.$$所以 $f(x)$ 在 $(-\infty,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty)$ 上单调递减，不妨设 $x_1<x_2$，则有 $x_1<1<x_2$．<br/>由 $(1)$ 知$$f(x_1)=f(x_2)>f(2-x_2),$$而 $x_1<1,2-x_2<1$，结合 $f(x)$ 单调性知 $x_1>2-x_2$，不等式得证． 备注2 因为 $x_1{\rm e}^{-x_1}=x_2{\rm e}^{-x_2}$，两边取对数整理得$$\dfrac {x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2}=1,$$由对数平均不等式得 $\dfrac {x_1+x_2}2>1$，命题得证．