题目 已知函数 $f\left( x \right) = {{\mathrm{e}}^x} - ax$（$a$ 为常数）的图象与 $y$ 轴交于点 $A$，曲线 $y = f\left( x \right)$ 在点 $A$ 处的切线斜率为 $-1$． 问题1 求 $a$ 的值及函数 $f\left( x \right)$ 的极值； 答案1 $a=2$．极小值为 $f(\ln 2)=2-2\ln 2$ 解析1 根据题意，函数 $f(x)$ 的图象与 $y$ 轴交于 $A(0,1)$，而函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)={\rm e}^x-a,$$因此 $f'(0)=-1$，解得 $a=2$．<br/>此时 $f(x)={\rm e}^x-2x$，其导函数 $f'(x)={\rm e}^x-2$，因此函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,\ln 2)$ 上单调递减，在 $(\ln 2,+\infty )$ 上单调递增，在 $x=\ln 2$ 处取得极小值为 $f(\ln 2)=2-2\ln 2$． 备注1 问题2 证明：当 $x > 0$ 时，${x^2} < {{\mathrm{e}}^x}$； 答案2 略 解析2 设函数 $g(x)={\rm e}^x-x^2$，则$$g'(x)={\rm e}^x-2x,$$根据第 $(1)$ 小题的结论，$g'(x)$ 的极小值同时也为最小值，而 $2-2\ln 2>0$，因此对任意实数 $x$，$g'(x)>0$，因此 $g(x)$ 单调递增，从而当 $x>0$ 时，$g(x)>g(0)=1>0$，命题得证． 备注2 问题3 证明：对任意给定的正数 $c$，总存在 ${x_0}$，使得当 $x \in \left( {{x_0} , + \infty } \right)$ 时，恒有 ${x^2} < c{{\mathrm{e}}^x}$． 答案3 略 解析3 令 $h(x)={\rm e}^x-\dfrac 13x^3$（$x>0$），则 $h(x)$ 的导函数$$h'(x)={\rm e}^x-x^2,$$由第 $(2)$ 小题结论可知当 $x>0$ 时，$h'(x)>0$，因此 $h(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，进而 $h(x)>h(0)=1$．<br/>这样我们就得到了：对任意给定的正数 $c$，均有$$c{\rm e}^x>\dfrac 13cx^3=\dfrac 13cx\cdot x^2,$$因此取 $x_0=\dfrac{3}{c}$，那么就有当 $x>x_0$ 时，恒有$$c{\rm e}^x>x^2,$$原命题得证． 备注3