题目 ${\mathrm \pi}$ 为圆周率，${\mathrm{e}}= 2.71828 \cdots$ 为自然对数的底数． 问题1 求函数 $f\left( x \right) = \dfrac{\ln x}{x}$ 的单调区间； 答案1 函数 $f(x)$ 在 $(0,{\rm e} )$ 上单调递增，在 $({\rm e} ,+\infty )$ 上单调递减 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2},$$因此函数 $f(x)$ 在 $(0,{\rm e} )$ 上单调递增，在 $({\rm e} ,+\infty )$ 上单调递减． 备注1 问题2 求 ${{\mathrm{e}}^3},{3^{\mathrm{e}}},{{\mathrm{e}}^{\mathrm \pi}},{{\mathrm \pi}^{\mathrm{e}}},{3^{\mathrm \pi}},{{\mathrm \pi}^3}$ 这六个数中的最大数与最小数； 答案2 最大数为 $3^{\pi} $，最小数为 $3^{\rm e} $ 解析2 由幂函数与指数函数的单调性可得$${\rm e} ^3<{\rm e} ^{\pi} <3^{\pi} ,3^{\rm e} <{\pi} ^{\rm e} <{\pi} ^3,$$因此这六个数中的最大数为 $\max\{3^{\pi} ,{\pi} ^3\}$，最小数为 $\min\{{\rm e} ^3,3^{\rm e} \}$．<br/>根据第 $(1)$ 小题的结果，有$$\dfrac{\ln {\rm e} }{\rm e} >\dfrac{\ln 3}{3}>\dfrac{\ln{\pi} }{\pi} ,$$从而$${\rm e} ^3>3^{\rm e} ,3^{\pi} >{\pi} ^3,$$因此这六个数中的最大数为 $3^{\pi} $，最小数为 $3^{\rm e} $． 备注2 问题3 将 ${{\mathrm{e}}^3},{3^{\mathrm{e}}},{{\mathrm{e}}^{\mathrm \pi}},{{\mathrm \pi}^{\mathrm{e}}},{3^{\mathrm \pi}},{{\mathrm \pi}^3}$ 从小到大排列． 答案3 $3^{\mathrm e}<{\mathrm e}^3<{\pi}^{\mathrm e}<{\mathrm e}^{\pi}<{\pi}^3<3^{\pi}$ 解析3 根据第 $(2)$ 小题的结果，只需要比较 ${\rm e} ^3$ 和 ${\pi} ^{\rm e} $ 的大小，以及 ${\rm e}^{\pi} $ 和 ${\pi} ^3$ 的大小．与第 $(2)$ 小题类似，只需要比较 $\ln {\pi} $ 与 $\dfrac{3}{\rm e} ,\dfrac{\pi} 3$ 的大小关系．由于 $\dfrac 3{\rm e} =1.10\ldots$，$\dfrac{\pi}3=1.04\ldots$，接下来估算 $\ln\pi$．<br/>利用第 $(1)$ 小题的结果可得$$\dfrac{\ln \dfrac{{\mathrm e}^2}{\pi}}{\dfrac{{\mathrm e}^2}{\pi}}<\dfrac{1}{\mathrm e},$$即$$\ln{\pi}>2-\dfrac{\mathrm e}{\pi}>1.12,$$因此$$\ln{\pi}>\dfrac{3}{\mathrm e}> \dfrac{\pi}{3},$$进而$${\mathrm e}^3<{\pi}^{\mathrm e}\land {\mathrm e}^{\pi}<{\pi}^3,$$因此$$3^{\mathrm e}<{\mathrm e}^3<{\pi}^{\mathrm e}<{\mathrm e}^{\pi}<{\pi}^3<3^{\pi}.$$ 备注3 在 $x={\rm e}^m\cdot {\pi }^n$ 中令 $m=-1$，$n=2$，则可以估计出 $\ln\pi$ 的上界 $\dfrac{{\pi} ^2}{2{\rm e} ^2}+\dfrac 12\approx 1.17$．关于常数 ${\rm e} $ 和 ${\pi} $ 还有很多有趣的知识，如 ${\rm e} ^{\pi}$ 正是我们所知的盖尔范德常数，并且已经被证明了是超越数，但是我们对 ${\pi} ^{\rm e} $ 却知之甚少，还没有证明它是无理数（即使它确实是）．另外 ${\pi} ^4+{\pi} ^5\approx {\rm e} ^6$，左右两边的小数点后前 $4$ 位都是一样的．稍微弱一点的近似等式为 $\dfrac{{\pi}^7}{{\rm e} ^8}\approx 1.0132$．