在任意梯形中，一条与上下底均有交点的直线将梯形分割为面积相等的两个部分，求证：这条直线过定点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图，设 $A(a,0),B(b,0),C(c,h),D(d,h),E(e,0),F(f,h)$ 且 $a\leqslant e\leqslant b,d\leqslant f\leqslant c$．
根据题意，梯形 $AEFD$ 和梯形 $CFEB$ 的面积相等，因此$$e+f=\dfrac 12(a+b+c+d),$$而直线 $EF$ 的方程为$$y=\dfrac{h}{f-e}(x-e),$$即$$y=\dfrac{h}{\dfrac 12(a+b+c+d)-2e}(x-e),$$因此直线 $E$ 恒过定点 $\left(\dfrac{a+b+c+d}4,\dfrac h2\right)$．
根据题意，梯形 $AEFD$ 和梯形 $CFEB$ 的面积相等，因此$$e+f=\dfrac 12(a+b+c+d),$$而直线 $EF$ 的方程为$$y=\dfrac{h}{f-e}(x-e),$$即$$y=\dfrac{h}{\dfrac 12(a+b+c+d)-2e}(x-e),$$因此直线 $E$ 恒过定点 $\left(\dfrac{a+b+c+d}4,\dfrac h2\right)$．
答案
解析
备注
