过 $\triangle ABC$ 的重心 $G$ 作直线 $l$，已知 $l$ 与 $AB, AC$ 的交点分别为 $M, N, \dfrac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle AMN}}=\dfrac{20}{9}$，若 $\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}$，则实数 $\lambda$ 的值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
设 $AN=\mu AC$，$\because G$ 为 $\triangle ABC$ 的重心，$\therefore \overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\dfrac{1}{3\lambda}\overrightarrow{AM}+\dfrac{1}{3\mu}\overrightarrow{AN}$，$\because M, G, N$ 三点共线，$\therefore \dfrac{1}{3\lambda}+\dfrac{1}{3\mu}=1$，又 $\dfrac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle AMN}}=\dfrac{20}{9}$，$\therefore \dfrac{\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot\sin A}{\frac{1}{2}AM\cdot AN\cdot\sin A}=\dfrac{20}{9}$，则 $\dfrac{1}{\lambda\mu}=\dfrac{20}{9}$，故 $\left\{\begin{array}{l}\lambda=\dfrac34\\[4pt]\mu=\dfrac35\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}\lambda=\dfrac35\\[4pt]\mu=\dfrac34\end{array}\right.$．
题目
答案
解析
备注
