已知函数 $f\left(x\right) = x\cos x - \sin x + 1\left(x > 0\right)$．
【难度】
【出处】
2014年高考湖南卷（文）
【标注】
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求 $f\left(x\right)$ 的单调区间；标注答案$f(x)$ 的单调递增区间是 $\big((2k+1)\pi,(2k+2)\pi\big)$，单调递减区间是 $\big(2k\pi,(2k+1)\pi\big)$，其中 $k\in{\mathbb N}$解析函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=-x\sin x,$$因此 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\big((2k+1)\pi,(2k+2)\pi\big)$，单调递减区间是 $\big(2k\pi,(2k+1)\pi\big)$，其中 $k\in{\mathbb N}$．
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记 ${x_i}$ 为 $f\left(x\right)$ 的从小到大的第 $i\left(i \in{\mathbb{N}}^*\right)$ 个零点，证明：对一切 $n \in{\mathbb{N}}^*$，有 $\dfrac{1}{x_1^2}+ \dfrac{1}{x_2^2}+ \cdots + \dfrac{1}{x_n^2}< \dfrac{2}{3}.$标注答案略解析接下来考虑 $n\geqslant 2$ 的情形．由于 $f(2k\pi)=2k\pi+1>0$，而 $f\big((2k+1)\pi\big)=-(2k+1)\pi+1<0$，其中 $k\in{\mathbb N}$．结合第 $(1)$ 小题的结果，可得$$(i-1)\pi<x_i<i\pi,i\in{\mathbb N^*}.$$因此$$\dfrac{1}{x_i^2}<\dfrac{1}{(i-1)^2\pi^2},i=2,3,\cdots ,n,$$累加可得\[\begin{split} \dfrac{1}{x_1^2}+ \dfrac{1}{x_2^2}+ \cdots + \dfrac{1}{x_n^2}&<\dfrac{4}{\pi^2}+\dfrac{1}{\pi^2}\left[1+\dfrac 14+\dfrac 19+\cdots +\dfrac{1}{(n-1)^2}\right]\\
&<\dfrac{4}{\pi^2}+\dfrac{1}{\pi^2}\left[1+\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\cdots +\dfrac{1}{(n-2)\cdot (n-1)}\right]\\
&=\dfrac{4}{\pi^2}+\dfrac{1}{\pi^2}\left[1+\left(1-\dfrac 12\right)+\left(\dfrac 12-\dfrac 13\right)+\cdots +\left(\dfrac{1}{n-2}-\dfrac1{n-1}\right)\right]\\
&=\dfrac{4}{\pi^2}+\dfrac{1}{\pi^2}\cdot\left(2-\dfrac{1}{n-1}\right)\\
&<\dfrac{4}{\pi^2}+\dfrac{2}{\pi^2}\\
&<\dfrac 23,\end{split}\]综上，原不等式得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
