随机将 $1,2,\cdots ,2n\left(n \in{\mathbb{N}}^* , n \geqslant 2\right)$ 这 $2n$ 个连续正整数分成 $A$，$B$ 两组，每组 $n$ 个数，$A$ 组最小数为 $a_1$，最大数为 $a_2$；$B$ 组最小数为 $b_1$，最大数为 ${b_2}$，记 $\xi ={a_2}-{a_1}$，$\eta ={b_2}-{b_1}$．
【难度】
【出处】
2014年高考江西卷（理）
【标注】
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当 $n=3$ 时，求 $\xi$ 的分布列和数学期望；标注答案$\xi$ 的分布列为$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
\xi& 2 & 3 & 4 & 5\\
\hline
P&\dfrac 15 & \dfrac 3{10} & \dfrac{3}{10} & \dfrac 15\\
\hline
\end{array}$$数学期望为 $\dfrac 72$解析列举可得 $\xi$ 的分布列为$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline
\xi& 2 & 3 & 4 & 5\\
\hline
P&\dfrac 15 & \dfrac 3{10} & \dfrac{3}{10} & \dfrac 15\\
\hline
\end{array}$$所求的数学期望为 $\dfrac 15\cdot 2+\dfrac 3{10}\cdot 3+\dfrac{3}{10}\cdot 4+\dfrac 15\cdot 5=\dfrac 72$． -
令 $C$ 表示事件 " $\xi$ 与 $\eta$ 的取值恰好相等"，求事件 $C$ 发生的概率 $P\left(C\right)$；标注答案所求的概率为$$P(C)=\begin{cases} \dfrac 23,&n=2,\\ \dfrac{2}{{{\rm C}_{2n}^n}}\cdot \left(2+\sum\limits_{k=1}^{n-2}{\rm C}_{2k}^k\right),&n\geqslant 3.\end{cases}$$解析基本事件总数为 ${\rm C}_{2n}^n$，接下来计算事件空间包含的基本事件数．
$\xi$ 与 $\eta$ 的取值恰好相等的情形可以这样构造：
第一类，$A$ 从 $1$ 取到 $n$，或者 $B$ 从 $1$ 取到 $n$，共 $2$ 种分组方法；
第二类，将 $1,2,\cdots ,2n$ 分成 $3$ 段，第一段为 $1,2,\cdots,k$，第二段为 $k+1,\cdots ,2n-k$，第三段为 $2n-k+1,\cdots ,2n$，其中 $k\leqslant n-1$．接下来通过四步完成分配：第一步 将第一段全部分配给 $A$，将第三段全部分配给 $B$；第二步 将中间一段中的第一个数分配给 $B$，最后一个数分配给 $A$；第三步 将中间一段剩下的 $2n-2k-2$ 个数平均分成两组，分别分配给 $A$ 和 $B$；第四步 在前面三步得到的分配方法的基础上，再交换 $A$ 组和 $B$ 组的所有数，得到新的分配方法（相当于加倍）．
综上，使 $\xi$ 与 $\eta$ 的取值恰好相等的所有可能的分配方法数为$$2+2\sum_{k=1}^{n-1}{\rm C}_{2n-2k-2}^{n-k-1},$$即$$2\left(1+\sum_{k=0}^{n-2}{\rm C}_{2k}^k\right),$$其中定义 ${\rm C}_0^0=1$．因此所求的概率为$$P(C)=\begin{cases} \dfrac 23,&n=2,\\ \dfrac{2}{{{\rm C}_{2n}^n}}\cdot \left(2+\sum\limits_{k=1}^{n-2}{\rm C}_{2k}^k\right),&n\geqslant 3.\end{cases}$$ -
对 $(2)$ 中的事件 $C$，$\overline{C}$ 表示 $C$ 的对立事件，判断 $P\left( C\right)$ 和 $P\left(\overline C\right)$ 的大小关系，并说明理由．标注答案当 $n=2$ 时，$P(C)>P(\overline C)$；当 $n\geqslant 3$ 时，$P(C)<P(\overline C)$解析由于 $P(C)+P(\overline C)=1$，因此只需要比较 $P(C)$ 与 $\dfrac 12$ 的大小关系即可．
当 $n=2,3,4,5$ 时，$P(C)$ 的值分别为 $\dfrac 23,\dfrac 25,\dfrac 27,\dfrac 5{21}$，因此当 $n=2$ 时，$P(C)>P(\overline C)$，猜想当 $n\geqslant 3$ 时，$P(C)<P(\overline C)$，下面证明这一结论．
当 $n\geqslant 3$ 时，只需要证明$$4\left(2+{\rm C}_2^1+{\rm C}_4^2+\cdots +{\rm C}_{2n-4}^{n-2}\right)<{\rm C}_{2n}^n.$$用数学归纳法，当 $n=3$ 时，命题显然成立．
假设当 $n=k$（$k\geqslant 3$ 且 $k$ 为正整数）时命题成立，即$$4\left(2+{\rm C}_2^1+{\rm C}_4^2+\cdots +{\rm C}_{2k-4}^{k-2}\right)<{\rm C}_{2k}^k,$$那么当 $n=k+1$ 时，只需要证明$$4{\rm C}_{2k-2}^{k-1}\leqslant {\rm C}_{2k+2}^{k+1}-{\rm C}_{2k}^k,$$事实上，我们有\[\begin{split} {\rm C}_{2n+2}^{n+1}&={\rm C}_{2n+1}^n+{\rm C}_{2n+1}^{n+1}\\&={\rm C}_{2n}^{n-1}+{\rm C}_{2n}^n+{\rm C}_{2n}^n+{\rm C}_{2n}^{n+1}\\&={\rm C}_{2n}^{n}+\left({\rm C}_{2n-1}^{n-2}+{\rm C}_{2n-1}^{n-1}\right)+\left({\rm C}_{2n-1}^{n-1}+{\rm C}_{2n-1}^n\right)+\left({\rm C}_{2n-1}^n+{\rm C}_{2n-1}^{n+1}\right)\\&> {\rm C}_{2n}^n+2\left({\rm C}_{2n-1}^{n-1}+{\rm C}_{2n-1}^n\right)\\&>{\rm C}_{2n}^n+4{\rm C}_{2n-2}^{n-1},\end{split}\]因此命题在 $n=k+1$ 时仍然成立．
综上，欲证结论得证．
因此当 $n=2$ 时，$P(C)>P(\overline C)$；当 $n\geqslant 3$ 时，$P(C)<P(\overline C)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
