题目 将连续正整数 $1,2, \cdots ,n\left(n \in{\mathbb{N}}^*\right)$ 从小到大排列构成一个数 $123 \cdots n$，$F\left(n\right)$ 为这个数的位数（如 $n = 12$ 时，此数为 $123456789101112$，共有 $15$ 个数字，$F\left(12\right) = 15$），现从这个数中随机取一个数字，$p\left(n\right)$ 为恰好取到 $0$ 的概率． 问题1 求 $p\left(100\right)$； 答案1 $p(100)=\dfrac{11}{F(100)}=\dfrac{11}{192}$ 解析1 按 $F(n)$ 的定义，当 $n=100$ 时可得$$F(100)=9\times 1+90\times 2+1\times 3=192.$$而其中 $0$ 出现的位置有 $10,20,\cdots ,90,100$，共 $11$ 个，因此按照 $p(n)$ 的定义，有$$p(100)=\dfrac{11}{F(100)}=\dfrac{11}{192}.$$ 备注1 问题2 当 $n \leqslant 2014$ 时，求 $F\left(n\right)$ 的表达式； 答案2 $F(n)$ 的表达式为$$F(n)=\begin{cases} n,1\leqslant n\leqslant 9,\\2n-9,10\leqslant n\leqslant 99,\\3n-108,100\leqslant n\leqslant 999,\\4n-1107,1000\leqslant n\leqslant 2014.\end{cases}$$ 解析2 需要将 $n$ 按分界点 $10,100,1000$ 展开讨论．<br/>$F(1),F(2),\cdots ,F(9)$ 构成以 $F(1)=1$ 为首项，$1$ 为公差的等差数列，通项为$$F(n)=n,n=1,2,\cdots ,9;$$$F(10),F(11),\cdots ,F(99)$ 构成以 $F(10)=F(9)+2=11$ 为首项，$2$ 为公差的等差数列，通项为$$F(n)=2n-9,n=10,11,\cdots ,99;$$$F(100),F(101),\cdots ,F(999)$ 构成以 $F(100)=F(99)+3=192$ 为首项，$3$ 为公差的等差数列，通项为$$F(n)=3n-108,n=100,101,\cdots ,999;$$$F(1000),F(1001),\cdots ,F(2014)$ 构成以 $F(1000)=F(999)+4=2893$ 为首项，$4$ 为公差的等差数列，通项为$$F(n)=4n-1107,n=1000,1001,\cdots ,2014.$$因此，$F(n)$ 的表达式为$$F(n)=\begin{cases} n,1\leqslant n\leqslant 9,\\2n-9,10\leqslant n\leqslant 99,\\3n-108,100\leqslant n\leqslant 999,\\4n-1107,1000\leqslant n\leqslant 2014.\end{cases}$$ 备注2 问题3 令 $g\left(n\right)$ 为这个数中数字 $0$ 的个数，$f\left(n\right)$ 为这个数中数字 $9$ 的个数，$h\left(n\right) = f\left(n\right) - g\left(n\right)$，$S = \left\{n\left|\right.h\left(n\right) = 1,n \leqslant 100,n \in{\mathbb{N}}^*\right\}$，求当 $n \in S$ 时 $p\left(n\right)$ 的最大值． 答案3 $\dfrac{1}{19}$ 解析3 先求集合 $S$．将 $1,2,\cdots,100$ 排成一个序列，可知在 $89$ 之前 $9$ 和 $0$ 出现的位置总是相邻的（如“$2930$”），而在 $90$（不包含 $90$）之后，$9$ 的个数比 $0$ 的个数至少多 $2$，如下：$$\cdots 910\cdots 1920\cdots 2930\cdots 899091\cdots 99100,$$因此可得$$S=\{9,19,29,\cdots,89,90\}.$$当 $n=9$ 时，显然有 $p(9)=0$；<br/>当 $n=10k+9$（$k=1,2,\cdots ,8$）时，由第 $(2)$ 小题的结果可得 $F(n)=20k+9$，而排列构成的数中包含 $k$ 个 $0$，因此$$p(n)=\dfrac{k}{20k+9}=\dfrac{1}{20+\dfrac{9}{k}}\leqslant \dfrac{8}{169};$$当 $n=90$ 时，由第 $(2)$ 小题的结果可得 $F(90)=171$，而排列构成的数中包含 $9$ 个 $0$，因此$$p(90)=\dfrac{9}{171}=\dfrac{1}{19};$$综上，当 $n\in S$ 时，$p(n)$ 的最大值为 $\dfrac{1}{19}$，当 $n=90$ 时取得． 备注3