如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $y=\dfrac 12x+1$ 与抛物线 $y=ax^2+bx-3$ 交于 $A,B$ 两点，点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 的纵坐标为 $3$，点 $P$ 是线段 $AB$ 下方的抛物线上一动点（不与 $A,B$ 重合），过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交直线 $AB$ 与点 $C$，作 $PD\perp AB$ 于点 $D$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求 $a,b$ 及 $\sin \angle ACP$ 的值；标注答案$a=\dfrac 12,b=-\dfrac 12$，$\sin \angle ACP=\dfrac{2\sqrt 5}{5}$解析由 $\dfrac 12x+1=0$，得到 $x=-2$，
所以 $A\left(-2,0\right)$．
由 $\dfrac 12x+1=3$，得到 $x=4$，
所以 $B\left(4,3\right)$．
因为 $y=ax^2+bx-3$ 经过 $A$、$B$ 两点，
所以 $a=\dfrac 12,b=-\dfrac 12$．
设直线 $A,B$ 与 $y$ 轴交于点 $E$，则 $E\left(0,1\right)$，$AE=\sqrt 5$．
因为 $PC \parallel y$ 轴，
所以 $\angle ACP=\angle AEO$．
所以 $\sin \angle ACP=\sin\angle AEO=\dfrac{OA}{AE}=\dfrac{2\sqrt 5}{5}$． -
求出线段 $PC,PD$ 长的最大值．标注答案$PC$ 有最大值 $\dfrac 92$，$PD$ 有最大值 $\dfrac{9\sqrt 5}{5}$解析由 $(1)$ 可知抛物线的解析式为 $y=\dfrac 12x^2-\dfrac 12x-3$，
设点 $P$ 的横坐标为 $m$（$-2<m<4$），
所以 $P\left(m,\dfrac 12m^2-\dfrac 12m-3\right),C\left(m,\dfrac 12m+1\right)$．
$PC=\dfrac 12m+1-\left(\dfrac 12m^2-\dfrac 12m-3\right)=-\dfrac 12m^2+m+4=-\dfrac 12\left(m-1\right)^2+\dfrac 92,$
所以当 $m=1$ 时，$PC$ 有最大值 $\dfrac 92$．
在 $\mathrm {Rt}\triangle PCD$ 中，$PD=PC\cdot \sin\angle ACP=-\dfrac{\sqrt 5}{5}\left(m-1\right)^2+\dfrac{9\sqrt 5}{5}$，
因为 $-\dfrac{\sqrt 5}{5}<0$，
所以当 $m=1$ 时，$PD$ 有最大值 $\dfrac{9\sqrt 5}{5}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
