题目 设函数 $f\left(x\right) = \dfrac{{{{\mathrm{e}}^x}}}{x^2}- k\left(\dfrac{2}{x}+ \ln x\right)$（$k$ 为常数，${\mathrm{e}}= 2.71828 \cdots$ 是自然对数的底数）． 问题1 当 $k \leqslant 0$ 时，求函数 $f\left(x\right)$ 的单调区间； 答案1 函数 $f(x)$ 的单调递减区间是 $(0,2)$，单调递增区间是 $(2,+\infty )$ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)={\rm e} ^x\left(x^{-2}-2x^{-3}\right)-k\left(-2x^{-2}+x^{-1}\right)=\dfrac{\left({\rm e} ^x-kx\right)\cdot(x-2)}{x^3},$$其中 $x>0$．当 $x>0$，$k\leqslant 0$ 时，${\rm e} ^x-kx>0$，因此在区间 $(0,2)$ 上，$f'(x)<0$；在区间 $(2,+\infty )$ 上，$f'(x)>0$．于是函数 $f(x)$ 的单调递减区间是 $(0,2)$，单调递增区间是 $(2,+\infty )$． 备注1 问题2 若函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left(0,2\right)$ 内存在两个极值点，求 $k$ 的取值范围． 答案2 $\left({\rm e} ,\dfrac 12 {\rm e} ^2\right)$ 解析2 根据题意，考虑方程 ${\rm e} ^x-kx=0$ 在 $(0,2)$ 上的解的个数，将方程变形为$$k=\dfrac{{\rm e} ^x}{x},$$令 $h(x)=\dfrac{{\rm e} ^x}{x}$，则其导函数$$h'(x)=\dfrac{{\rm e} ^x(x-1)}{x^2},$$因此函数 $h(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,2)$ 上单调递增，在 $x=1$ 处取得极小值 ${\rm e} $，如图．<img src="/static/images/08e8a355eb16becc05c3d6cc636ff839.png" class="img-responsive" />根据题意，结合 $h\left(\dfrac 15\right)=5{\rm e}^{\frac 15}>\dfrac 12{\rm e}^2$，因此直线 $y=k$ 与函数 $h(x)$ 的图象有两个公共点，于是 ${\rm e}<k<\dfrac 12{\rm e} ^2$．经验证，当 $k$ 在此范围时，函数 $f(x)$ 在 $(0,2)$ 有两个极值点．因此所求 $k$ 的取值范围是 $\left({\rm e} ,\dfrac 12 {\rm e} ^2\right)$． 备注2