题目 设函数 $f\left( x \right) = \ln \left({1 + x}\right)$，$g\left( x \right) = xf'\left( x \right)$，$x \geqslant 0$，其中 $f'\left( x \right)$ 是 $f\left( x \right)$ 的导函数． 问题1 令 ${g_1}\left( x \right) = g\left( x \right)$，${g_{n + 1}}\left( x \right) = g\left({{g_n}\left( x \right)}\right)$，$n \in{{\mathbb{N}}_ +}$，求 ${g_n}\left( x \right)$ 的表达式； 答案1 $g_n(x)=\dfrac{x}{1+nx}$（$n\in{\mathbb N^*}$） 解析1 根据题意，可得\[\begin{split} &g_1(x)=\dfrac{x}{1+x},\\<br/>&g_2(x)=\dfrac{\dfrac{x}{1+x}}{1+\dfrac{x}{1+x}}=\dfrac{x}{1+2x},\\<br/>&g_3(x)=\dfrac{\dfrac{x}{1+2x}}{1+\dfrac{x}{1+2x}}=\dfrac{x}{1+3x},\\<br/>&\cdots<br/>\end{split}\]归纳得 $g_n(x)=\dfrac{x}{1+nx}$（$n\in{\mathbb N^*}$），用数学归纳法证明如下．<br/>当 $n=1$ 时，命题显然成立；<br/>假设当 $n=k$（$k\in{\mathbb N^*})$ 时，命题成立，即 $g_k(x)=\dfrac{x}{1+kx}$，则当 $n=k+1$ 时，$$g_{k+1}(x)=g(g_k(x))=\dfrac{\dfrac{x}{1+kx}}{1+\dfrac{x}{1+kx}}=\dfrac{x}{1+(k+1)x},$$因此命题对 $n=k+1$ 依然成立．<br/>综上，命题得证，因此 $g_n(x)=\dfrac{x}{1+nx}$（$n\in{\mathbb N^*}$）． 备注1 问题2 若 $f\left( x \right) \geqslant ag\left( x \right)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围； 答案2 $(-\infty ,1]$ 解析2 令 $h(x)=f(x)-ag(x)$，则函数 $h(x)$ 的导函数$$h'(x)=\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{a}{(1+x)^2}=\dfrac{x+1-a}{(1+x)^2},$$于是按 $a$ 和 $1$ 的大小关系展开讨论．<br/>当 $a>1$ 时，在 $(0,a-1)$ 上 $h'(x)<0$，因此 $h(x)$ 在 $(0,a-1)$ 上单调递减，在该区间上有 $h(x)< h(0)=0$，不符合题意；<br/>当 $a\leqslant 1$ 时，在 $(0,+\infty )$ 上 $h'(x)>0$，因此 $h(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，有 $h(x)\geqslant h(0)=0$，符合题意；<br/>综上，实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty ,1]$． 备注2 问题3 设 $n \in{{\mathbb{N}}_ +}$，比较 $g\left( 1 \right) + g\left( 2 \right) + \cdots + g\left( n \right)$ 与 $n - f\left( n \right)$ 的大小，并加以证明． 答案3 对所有正整数 $n$ 均有$$g(1)+g(2)+\cdots +g(n)>n-f(n).$$ 解析3 作差\[\begin{split} &g(1)+g(2)+\cdots g(n)-\left[n-f(n)\right]\\=&\dfrac 12+\dfrac 23+\cdots +\dfrac{n}{1+n}-n+\ln (1+n)\\<br/>=&\ln(1+n)-\left(\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac{1}{n+1}\right).\end{split}\]根据第 $(2)$ 小题的结果，取 $a=1$，可得 $\ln(1+x)>\dfrac{x}{1+x}$（$x>0$），令 $x=\dfrac{1}{k}$（$k>0$），可得$$\ln\dfrac{k+1}{k}>\dfrac{1}{k+1},$$分别取 $k=1,2,\cdots ,n$，累加即得$$\ln(1+n)>\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots \dfrac{1}{n+1},$$因此对所有正整数 $n$ 均有$$g(1)+g(2)+\cdots +g(n)>n-f(n).$$ 备注3