题目 设函数 $f\left(x\right) = \ln x + \dfrac{m}{x}$，$m \in{\mathbb{R}}$． 问题1 当 $m ={\mathrm{e}}$（${\mathrm{e}}$ 为自然对数的底数）时，求 $f\left(x\right)$ 的极小值； 答案1 $2$ 解析1 当 $m={\rm e}$ 时，$f(x)=\ln x+\dfrac{{\rm e} }x$，其导函数$$f'(x)=\dfrac 1x-\dfrac{\rm e}{x^2}=\dfrac {x-{\rm e} }{x^2},x>0$$因此函数 $f(x)$ 在 $(0,{\rm e})$ 上单调递减，在 $({\rm e} ,+\infty )$ 上单调递增，在 $x={\rm e}$ 处取得极小值 $2$． 备注1 问题2 讨论函数 $g\left(x\right) = f'\left(x\right) - \dfrac{x}{3}$ 零点的个数； 答案2 $$\begin{cases}0,m\in\left(\dfrac 23,+\infty\right),\\1,m\in(-\infty,0]\cup\left\{\dfrac 23\right\},\\2,m\in\left(0,\dfrac 23\right).\end{cases} $$ 解析2 根据题意 $g(x)=\dfrac 1x-\dfrac{m}{x^2}-\dfrac x3$，$x>0$，因此其零点即方程 $m=x-\dfrac 13x^3$ 在 $(0,+\infty )$ 上的根．<br/>设 $\varphi(x)=x-\dfrac 13x^3$，则其导函数 $\varphi'(x)=1-x^2$，因此函数 $\varphi(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty )$ 上单调递减，$\varphi(0)=0$，$\varphi(1)=\dfrac 23$，如图．<img src="/static/images/b622cf0ff515415ed101ed934aeea610.png" class="img-responsive" />于是当 $m>\dfrac 23$ 时，函数 $g(x)$ 的零点个数为 $0$；当 $m\leqslant 0$ 或 $m=\dfrac 23$ 时，函数 $g(x)$ 的零点个数为 $1$，当 $0<m<\dfrac 23$ 时，函数 $g(x)$ 的零点个数为 $2$． 备注2 问题3 若对任意 $b > a > 0$，$\dfrac{f\left(b\right) - f\left(a\right)}{b - a}< 1$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围． 答案3 $\left[\dfrac 14,+\infty \right)$ 解析3 根据题意，有$$\forall b>a>0,f(b)-b<f(a)-a,$$也即函数 $h(x)=f(x)-x$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减．<br/>函数 $h(x)$ 的导函数$$h'(x)=\dfrac{-x^2+x-m}{x^2},x>0,$$根据题意，在区间 $(0,+\infty )$ 上，$h'(x)\leqslant 0$ 恒成立，因此$$\forall x>0,m\geqslant -x^2+x=\dfrac 14-\left(x-\dfrac 12\right)^2,$$从而 $m\geqslant \dfrac 14$，因此 $m$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 14,+\infty \right)$． 备注3