题目 将一个正整数表示为 $a_1+a_2+\cdots +a_p$（$p\in\mathbb N^*$）的形式，其中 $a_i\in\mathbb N^*$（$i=1,2,\cdots ,p$），且 $a_1\leqslant a_2\leqslant \cdots \leqslant a_p$，记所有的这种表示法的种数为 $f(n)$（如 $4=4$，$4=1+3$，$4=2+2$，$4=1+1+2$，$4=1+1+1+1$，故 $f(4)=5$）． 问题1 计算 $f(3)$，$f(5)$； 答案1 $f(3)=3$，$f(5)=7$ 解析1 $f(3)=3$，$f(5)=7$． 备注1 问题2 求证：$2f(n+1)\leqslant f(n)+f(n+2)$，其中 $n\in\mathbb N^*$； 答案2 略 解析2 只需要证明$$f(n+2)-f(n+1)\geqslant f(n+1)-f(n),n\in\mathbb N^*.$$注意到在 $n$ 的所有表示法前加上“$1+$”就可以得到 $n+1$ 的表示法中所有以 $1$ 开头的表示法，因此 $n+1$ 的表示法中以 $1$ 为第一项的有 $f(n)$ 种，不以 $1$ 开头的有 $f(n+1)-f(n)$ 种；类似的，$n+2$ 的表示法中，不以 $1$ 开头的有 $f(n+2)-f(n+1)$ 种．而在 $n+1$ 的表示法中所有不以 $1$ 开头的表示法中最后一项加上 $1$ 就可以得到 $n+2$ 的表示法中不以 $1$ 开头的表示法，且这些表示法均不相同，因此命题得证． 备注2 问题3 当 $n\geqslant 6$ 且 $n\in\mathbb N^*$ 时，求证：$f(n)\geqslant 4n-13$． 答案3 略 解析3 当 $n=6$ 时，有 $f(6)=11$，命题成立．接下来直接证明 $n\geqslant 6$ 时，$f(n+1)-f(n)\geqslant 4$ 或者利用第 $(2)$ 小题的结果，可得$$f(n+1)-f(n)\geqslant f(6)-f(5)=4,$$累加即得． 备注3