题目 设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$ 是平面直角坐标系 $xOy$ 上的两点，现定义由点 $A$ 到点 $B$ 的折线距离 $d(A,B)=|x_2-x_1|+|y_2-y_1|$．对于平面 $xOy$ 上给定的不同两点 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$． 问题1 若 $C(x,y)$ 是平面 $xOy$ 上的点，试证明 $d(A,C)+d(C,B)\geqslant d(A,B)$； 答案1 略 解析1 根据题意，有\[\begin{split} LHS&=|x_1-x|+|y_1-y|+|x-x_2|+|y-y_2|\\<br/>&\geqslant |(x_1-x)+(x_3-x_2)|+|(y_1-y)+(y-y_2)|\\<br/>&=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|=RHS,\end{split}\]因此原命题得证． 备注1 问题2 在平面 $xOy$ 上是否存在点 $C(x,y)$ 同时满足：$d(A,C)+d(C,B)=d(A,B)$ 和 $d(A,C)=d(C,B)$．若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请说明理由． 答案2 略 解析2 第（1）小题中的不等式取得等号的条件是$$\begin{cases} (x_1-x)(x-x_2)\geqslant 0,\\ (y_1-y)(y-y_2)\geqslant 0,\end{cases}$$即$$\begin{cases} \min\{x_1,x_2\}\leqslant x\leqslant \max\{x_1,x_2\},\\<br/>\min\{y_1,y_2\}\leqslant y\leqslant \max\{y_1,y_2\},\end{cases}$$因此当 $x_1=x_2$ 或 $y_1=y_2$ 时，$C$ 为 $AB$ 的中点 $M\left(\dfrac{x_1+x_2}2,\dfrac{y_1+y_2}2\right)$；当 $x_1\neq x_2$ 且 $y_1\neq y_2$ 时，点 $C$ 的轨迹是过 $AB$ 的中点 $M$，斜率的绝对值为 $1$，且与直线 $AB$ 斜率的符号相反的直线被以线段 $AB$ 为对角线各边都与坐标轴方向平行的矩形所截的线段，如图所示．<img src="/static/images/ebfe0155eda6453957db84f2403e868a.png" class="img-responsive" /> 备注2 <case>注一</case>对于条件 $d(A,C)=d(C,B)$，即$$|x-x_1|-|x-x_2|+|y-y_1|-|y-y_2|=0.$$因为 $x-x_1,x-x_2$ 符号相关，$y-y_1,y-y_2$ 的符号也相反，所以点 $C$ 的轨迹是斜率为 $1$ 或 $-1$ 的直线．若直线 $AB$ 的斜率为正，不妨设 $x_1<x_2,y_1<y_2$，则有 $2x+2y-x_1-x_2-y_1-y_2=0$，即 $C$ 点在斜率为 $-1$ 的直线上，其它情况可同理．<br/><case>注二</case>本题中的 $d(A,C)+d(C,B)=d(A,B)$ 可以看成是折线段的定义，$d(A,C)=d(C,B)$ 可以看成是折线垂直平分线的定义．类似的，我们可以定义折线圆 $d(A,C)=r$，折线椭圆 $d(A,C)+d(B,C)=2a$，折线双曲线 $\left|d(A,C)-d(B,C)\right|=2a$，点到直线的折线距离 $\displaystyle d(C,l)=\min_{A\in l}\{d(C,A)\}$，以及折线抛物线 $d(C,l)=d(A,C)$．