已知点集 $A=\left\{(x,y)\mid \left|x-y^2\right|+\left|x^2-y\right|\leqslant 1\right\}$，点集 $B=\left\{(x,y)\mid \left(x-\dfrac 12\right)^2+\left(y-\dfrac 12\right)^2\leqslant \dfrac 32\right\}$，求证：$A\subsetneqq B$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
点集 $B$ 即圆 $x^2+y^2-x-y=1$ 的内部（包含边界），而$$1\geqslant \left|x-y^2\right|+\left|x^2-y\right|\geqslant \left|\left(x-y^2\right)-\left(x^2-y\right)\right|=\left|x^2+y^2-x-y\right|,$$于是 $A\subseteq B$．
另一方面，点 $P\left(\dfrac 12,\sqrt{\dfrac 32}+\dfrac 12\right)\in B$，但点 $P\notin A$，于是 $A\neq B$．
综上所述，$A\subsetneqq B$．
另一方面，点 $P\left(\dfrac 12,\sqrt{\dfrac 32}+\dfrac 12\right)\in B$，但点 $P\notin A$，于是 $A\neq B$．
综上所述，$A\subsetneqq B$．
答案
解析
备注
