已知椭圆 $C:9x^2+y^2=m^2(m>0)$，直线 $l$ 不过原点 $O$ 且不平行于坐标轴，$l$ 与 $C$ 有两个交点 $A,B$，线段 $AB$ 的中点为 $M$．
【难度】
【出处】
2015年高考全国II卷（理）
【标注】
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证明：直线 $OM$ 的斜率与 $l$ 的斜率的乘积为定值；标注答案定值为 $-9$解析设 $A\left(x_1,y_1\right)$，$B\left(x_2,y_2\right)$，则$$\begin{cases}9x_1^2+y_1^2=m^2,\\9x_2^2+y_2^2=m^2,\end{cases}$$两式相减得$$9\left(x_1+x_2\right)\left(x_1-x_2\right)+\left(y_1+y_2\right)\left(y_1-y_2\right)=0,$$即$$\dfrac{y_1+y_2}{x_1+x_2}\cdot\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-9.$$事实上，等式左边即直线 $OM$ 的斜率与直线 $l$ 的斜率之积．因此原命题得证，且定值为 $-9$．
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若 $l$ 过点 $\left(\dfrac m3,m\right)$，延长线段 $OM$ 与 $C$ 交于点 $P$，四边形 $OAPB$ 能否为平行四边形？若能，求此时 $l$ 的斜率；若不能，说明理由．标注答案能，$l$ 的斜率为 $4\pm\sqrt 7$解析根据题意，如图．
假设存在符合题意的平行四边形 $OAPB$，设 $M\left(x_0,y_0\right)$，则 $P\left(2x_0,2y_0\right)$，于是$$9x_0^2+y_0^2=\dfrac 14m^2.$$此时根据第 $(1)$ 小题的结论，有$$\dfrac{m-y_0}{\dfrac m3-x_0}\cdot\dfrac{y_0}{x_0}=-9,$$整理得$$3mx_0+my_0=9x_0^2+y_0^2=\dfrac 14m^2,$$即$$3x_0+y_0=\dfrac 14m.$$由关于 $x_0,y_0$ 的两个方程齐次化可得$$\dfrac{9x_0^2+y_0^2}{(3x_0+y_0)^2}=4,$$于是解得直线 $l$ 的斜率为$$-9\cdot\dfrac{x_0}{y_0}=4\pm\sqrt 7.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
