题目 已知函数 $f(x)=\ln x+a(1-x)$． 问题1 讨论 $f(x)$ 的单调性； 答案1 函数 $f(x)$ 在 $\left (0,\dfrac 1a\right)$ 上单调递增，在 $\left (\dfrac 1a,+\infty \right)$ 上单调递减 解析1 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac 1x\cdot\left(-ax+1\right),$$因此按 $a$ 与 $0$ 的关系展开讨论．<br/><case>情形一</case>当 $a\leqslant 0$ 时，$f'(x)>0$，于是 $f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增；<br/><case>情形二</case>当 $a>0$ 时，在 $\left(0,\dfrac 1a\right)$ 上 $f'(x)>0$，在 $\left(\dfrac 1a,+\infty \right)$ 上 $f'(x)<0$，于是函数 $f(x)$ 在 $\left (0,\dfrac 1a\right)$ 上单调递增，在 $\left (\dfrac 1a,+\infty \right)$ 上单调递减． 备注1 问题2 当 $f(x)$ 有最大值，且最大值大于 $2a-2$ 时，求 $a$ 的取值范围． 答案2 $(0,1)$ 解析2 根据第 $(1)$ 小题的结论，当 $a>0$ 时，函数 $f(x)$ 有最大值$$f\left(\dfrac 1a\right) =-\ln a+a-1.$$根据题意，有$$-\ln a+a-1>2a-2,$$即$$-\ln a-a+1>0.$$记左边函数为 $g(a)=-\ln a-a+1$，则该函数为 $(0,+\infty )$ 上的单调递减函数，且 $g(1)=0$．于是所求的 $a$ 的取值范围是 $(0,1)$． 备注2