设 $n\in\mathbb N^*$，$x_n$ 是曲线 $y=x^{2n+2}+1$ 在点 $(1,2)$ 处的切线与 $x$ 轴交点的横坐标．
【难度】
【出处】
2015年高考安徽卷（理）
【标注】
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求数列 $\{x_n\}$ 的通项公式；标注答案$x_n=\dfrac{n}{n+1}$（$n\in\mathbb N^*$）解析函数 $y=x^{2n+2}+1$ 的导函数为$$y'=(2n+2)x^{2n+1},$$于是在点 $(1,2)$ 处的切线方程为$$y=(2n+2)(x-1)+2,$$其与 $x$ 轴交点的横坐标为 $x_n=\dfrac{n}{n+1}$（$n\in\mathbb N^*$）．
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记 $T_n=x_1^2x_3^2\cdots x_{2n-1}^2$，证明：$T_n\geqslant \dfrac 1{4n}$．标注答案略解析根据第 $(1)$ 小题的结果，只需要证明$$\left(\dfrac 12\right)^2\cdot\left(\dfrac 34\right)^2\cdots\left(\dfrac{2n-1}{2n}\right)^2\geqslant \dfrac 1{4n}.$$当 $n=1$ 时，左右两边均为 $\dfrac 14$，于是不等式成立；
注意到右边可以写成$$\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{4}{8}\cdots\dfrac{4(n-1)}{4n},$$于是只需要证明$$\forall n\in\mathbb N^*,\left(\dfrac{2n-1}{2n}\right)^2\geqslant \dfrac{4(n-1)}{4n}.$$用分析法易证上述不等式成立，因此原不等式得证．其他解法 也可以利用不等式 $\dfrac{a+m}{b+m}>\dfrac{a}{b}$，其中 $0<a<b$，$m>0$（证明从略）．不等式左边$$\left(\dfrac 12\right)^2\cdot\left(\dfrac 34\right)^2\cdots\left(\dfrac{2n-1}{2n}\right)^2\geqslant \dfrac 12\cdot\dfrac 12\cdot\dfrac 23\cdot\dfrac 34\cdots\dfrac{2n-2}{2n-1}\cdot\dfrac{2n-1}{2n}=\dfrac 1{4n},$$因此原不等式得证．
另一方面，有$$\left(\dfrac 12\right)^2\cdot\left(\dfrac 34\right)^2\cdots\left(\dfrac{2n-1}{2n}\right)^2\leqslant \dfrac 12\cdot\dfrac 23\cdot\dfrac 34\cdot\dfrac 45\cdots\dfrac{2n-1}{2n}\cdot\dfrac{2n}{2n+1}=\dfrac 1{2n+1},$$因此我们有$$\dfrac{1}{2\sqrt n}\leqslant \dfrac{1\cdot 3\cdots (2n-1)}{2\cdot 4\cdots (2n)}\leqslant \dfrac{1}{\sqrt{2n+1}},$$即 $\dfrac{1}{2\sqrt n}\leqslant \dfrac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\leqslant \dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}$，这是一个常见的级数不等式练习题．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
