题目 已知函数 $f(x)=\ln x-\dfrac{(x-1)^2}{2}$． 问题1 求函数 $f(x)$ 的单调递增区间； 答案1 $\left(0,\dfrac{\sqrt 5+1}2\right)$ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac 1x-(x-1)=-\dfrac 1x\cdot\left(x+\dfrac{\sqrt 5-1}2\right)\cdot\left(x-\dfrac{\sqrt 5+1}2\right),$$于是 $f(x)$ 的单调递增区间是 $\left(0,\dfrac{\sqrt 5+1}2\right)$． 备注1 问题2 证明：当 $x>1$ 时，$f(x)<x-1$； 答案2 略 解析2 只需要证明 $\forall x>1$，$\ln x-\dfrac 12(x-1)^2-(x-1)<0$．<br/>令左侧函数为 $g(x)$，则$$g'(x)=\dfrac 1x-(x-1)-1=\dfrac{1+x}x\cdot (1-x)<0,$$因此 $g(x)$ 在区间 $(1,+\infty )$ 上单调递减，从而$$g(x)<g(1)=0,$$命题得证． 备注2 问题3 确定实数 $k$ 的所有可能取值，使得存在 $x_0>1$，当 $x\in(1,x_0)$ 时，恒有 $f(x)>k(x-1)$． 答案3 $(-\infty ,1)$ 解析3 记 $h(x)=f(x)-k(x-1)=\ln x-\dfrac 12(x-1)^2-k(x-1)$，则函数 $h(x)$ 的导函数$$h'(x)=\dfrac {-x^2+(1-k)x+1}{x},$$考虑到 $h'(1)=1-k$，于是按 $k$ 和 $1$ 的大小关系讨论．<br/><case>情形一</case> $k<1$ 时，在区间 $\left(1,\dfrac{1-k+\sqrt{(k-1)^2+4}}2\right)$ 上，有 $h'(x)>0$，于是取$$x_0=\dfrac{1-k+\sqrt{(k-1)^2+4}}2,$$就有函数 $h(x)$ 在 $(1,x_0)$ 上满足$$h(x)>h(1)=0,$$符合题意．<br/><case>情形二</case> $k\geqslant 1$ 时，根据第 $(2)$ 小题的结论，在区间 $(1,+\infty )$ 上，均有$$f(x)<x-1\leqslant k(x-1),$$不符合题意．<br/>综上 $k$ 的取值范围是 $(-\infty ,1)$． 备注3