在 $\triangle ABC$ 中，三个内角 $A$、$B$、$C$ 所对的边分别为 $a$、$b$、$c$．已知 $\left( {a - c} \right)\left( {\sin A + \sin C} \right) = \left( {a - b} \right)\sin B$．
【难度】
【出处】
2013年卓越大学联盟自主选拔录取学科基础测试数学试题
【标注】
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求角 $C$ 的大小；标注答案$\dfrac{{{\pi }}}{3}$解析由$$\left( {a - c} \right)\left( {\sin A + \sin C} \right) = \left( {a - b} \right)\sin B,$$得$$ \left( {a - c} \right)\left( {a + c} \right) = \left( {a - b} \right)b,$$整理得$$ {a^2} + {b^2} - {c^2} = ab.$$于是$$\cos C = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = \dfrac{1}{2},$$解得 $C = \dfrac{{{\pi }}}{3}$．
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求 $\sin A \cdot \sin B$ 的最大值．标注答案$\dfrac{3}{4}$解析由 $(1)$ 得，$A + B = \dfrac{{2{{\pi }}}}{3}$，所以\[\begin{split}\sin A \cdot \sin B &= \sin A \cdot \sin \left( {\dfrac{{2{{\pi }}}}{3} - A} \right) \\& = \sin A \cdot \left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos A + \dfrac{1}{2}\sin A} \right)\\& = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\sin A \cdot \cos A + \dfrac{1}{2}{\sin ^2}A\\& = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}\sin 2A + \dfrac{{1 - \cos 2A}}{4}\\& = \dfrac{1}{2}\sin \left( {2A - \dfrac{{{\pi }}}{6}} \right) + \dfrac{1}{4}.\end{split}\]所以当 $A = \dfrac{{{\pi }}}{3}$ 时，$\sin A \cdot \sin B$ 取到最大值 $\dfrac{3}{4}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
