设 $x > 0$．
【难度】
【出处】
2013年卓越大学联盟自主选拔录取学科基础测试数学试题
【标注】
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证明：${{\mathrm{e}}^x} > 1 + x + \dfrac{1}{2}{x^2}$；标注答案略解析设$$f\left( x \right) = {{\mathrm {e}}^x} - \left( {1 + x + \dfrac{1}{2}{x^2}} \right),x \in [0,+\infty).$$则$$f'\left( x \right) = {{\mathrm {e}}^x} - \left( {1 + x} \right).$$令$$g\left( x \right) = {{\mathrm {e}}^x} - \left( {1 + x} \right), x \in [0,+\infty).$$则$$g'\left( x \right) = {{\mathrm {e}}^x} - 1.$$当 $x > 0$ 时，由于 ${{\mathrm {e}}^x} > 1$，所以 $g'\left( x \right) > 0$，因此 $g\left( x \right)$ 在 $ [0,+\infty) $ 上单调递增．
于是有$$f'\left( x \right) = g\left( x \right) > g\left( 0 \right) = 0,x \in (0,+\infty).$$从而可知 $f\left( x \right)$ 在 $ [0,+\infty) $ 上单调递增，又 $f\left( 0 \right) = 0$，所以 $f\left( x \right) > 0$，$x \in (0,+\infty) $，即$${{\mathrm {e}}^x} > 1 + x + \dfrac{1}{2}{x^2},x \in (0,+\infty).$$ -
若 ${{\mathrm {e}}^x} = 1 + x + \dfrac{1}{2}{x^2}{{\mathrm {e}}^y}$，证明：$0 < y < x$．标注答案略解析设$$h\left( x \right) = {{\mathrm {e}}^x} - \left( {1 + x + \dfrac{1}{2}{x^2}{{\mathrm {e}}^x}} \right), x \in [0,+\infty). $$则$$h'(x)= {{\mathrm {e}}^x} - \left( {1 + x{{\mathrm {e}}^x} + \dfrac{1}{2}{x^2}{{\mathrm {e}}^x}} \right)$$令$$p(x)= {{\mathrm {e}}^x} - \left( {1 + x{{\mathrm {e}}^x} + \dfrac{1}{2}{x^2}{{\mathrm {e}}^x}} \right), x \in [0,+\infty).$$则$$p'(x)=-2x{{\mathrm {e}}^x}- \dfrac{1}{2}{x^2}{{\mathrm {e}}^x}<0, x \in (0,+\infty).$$所以 $p(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减，从而$$h'\left( x \right) = {{\mathrm {e}}^x} - \left( {1 + x{{\mathrm {e}}^x} + \dfrac{1}{2}{x^2}{{\mathrm {e}}^x}} \right)=p(x)<p(0)=0,$$因此 $h\left( x \right)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减，于是$$h\left( x \right) < h\left( 0 \right) = 0,x \in (0,+\infty),$$即$$\dfrac{{2\left( {{{\mathrm {e}}^x} - 1 - x} \right)}}{{{x^2}}} < {{\mathrm {e}}^x},x \in (0,+\infty). $$结合 $(1)$ 有$${{\mathrm {e}}^0} = 1 < {{\mathrm {e}}^y} = \dfrac{{2\left( {{{\mathrm {e}}^x} - 1 - x} \right)}}{{{x^2}}} < {{\mathrm {e}}^x},$$得 $0 < y < x$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
