系统中每个元件正常工作的概率都是 $p$（$0 < p < 1$）．各个元件正常工作的时间相互独立．如果系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作．系统正常工作的概率称为系统的可靠性．
【难度】
【出处】
2012年清华大学（高水平大学）自主选拔学业能力测试
【标注】
-
某系统配置有 $2k - 1$ 个元件，$k$ 为正整数，求系统正常工作的概率 ${p_k}$；标注答案$\displaystyle {p_k} = \sum\limits_{n = 0}^{k - 1} {\mathrm{C}_{2k - 1}^n{{\left( {1 - p} \right)}^n}{p^{2k - 1 - n}}} $解析显然 $\displaystyle {p_k} = \sum\limits_{n = 0}^{k - 1} {\mathrm{C}_{2k - 1}^n{{\left( {1 - p} \right)}^n}{p^{2k - 1 - n}}} $．
-
为改善 $(1)$ 中系统的性能，拟增加两个元件．试讨论增加两个元件后，能否提高系统的可靠性．标注答案当 $p > \dfrac{1}{2}$ 时可靠性增加；当 $p < \dfrac{1}{2}$ 时可靠性减小；当 $p = \dfrac{1}{2}$ 时可靠性不变解析显然 $\displaystyle {p_k} = \sum\limits_{n = 0}^{k - 1} {\mathrm{C}_{2k - 1}^n{{\left( {1 - p} \right)}^n}{p^{2k - 1 - n}}} $，下面探讨 $2k - 1$ 个元件增加到 $2k + 1$ 个元件时，正常工作的概率之间的关系．
$2k + 1$ 个元件时系统正常工作的概率为三部分的和：① 至少 $k + 1$ 个正常工作；② $k$ 个正常工作且另外两个至少有一个正常工作；③ $k - 1$ 个正常工作且另外两个都正常工作的概率．
因此\[\begin{split}{p_{k + 1}} &= {p_k} - \mathrm{C}_{2k - 1}^{k-1}{p^k}{\left( {1 - p} \right)^{k - 1}} + \mathrm{C}_{2k - 1}^{k-1}{p^k}{\left( {1 - p} \right)^{k - 1}}\left[ {1 - {{\left( {1 - p} \right)}^2}} \right] + \mathrm{C}_{2k - 1}^{k}{p^{k - 1}}{\left( {1 - p} \right)^k}{p^2}\\&= {p_k} - \mathrm{C}_{2k - 1}^k{p^k}{\left( {1 - p} \right)^{k + 1}} + \mathrm{C}_{2k - 1}^k{p^{k + 1}}{\left( {1 - p} \right)^k}\\&= {p_k} + \mathrm{C}_{2k - 1}^k{p^k}{\left( {1 - p} \right)^k}\left( {2p - 1} \right),\end{split}\]于是增加两个元件后的可靠性取决于 $p$：
当 $p > \dfrac{1}{2}$ 时可靠性增加；当 $p < \dfrac{1}{2}$ 时可靠性减小；当 $p = \dfrac{1}{2}$ 时可靠性不变．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
