题目 已知函数 $f\left( x \right) = \ln \dfrac{{{{\text{e}}^x} - 1}}{x}$，${a_1} = 1$，${a_{n + 1}} = f\left( {{a_n}} \right)$． 问题1 求证：${{\text{e}}^x}x - {{\text{e}}^x} + 1 \geqslant 0$ 恒成立； 答案1 略 解析1 令 $g\left( x \right) = {\mathrm{e}^x}\left( {x - 1} \right) + 1$，则 $g'\left( x \right) = {\mathrm{e}^x} \cdot x$，于是$$\min\limits_{x \in {\mathbb{R}}} g\left( x \right) = g\left( 0 \right) = 0,$$因此原不等式得证，等号当且仅当 $x = 0$ 时取得． 备注1 问题2 试求 $f\left( x \right)$ 的单调区间； 答案2 $f\left( x \right)$ 在 $\left( { - \infty , 0} \right)$ 和 $\left( {0, + \infty } \right)$ 上单调递增 解析2 $f\left( x \right)$ 的定义域为 $x\ne0$，且$$f'\left( x \right) = \frac{{{\mathrm{e}^x}\left( {x - 1} \right) + 1}}{{x \cdot \left( {{\mathrm{e}^x} - 1} \right)}},$$于是 $f\left( x \right)$ 在 $\left( { - \infty , 0} \right)$ 和 $\left( {0, + \infty } \right)$ 上单调递增．<br/>事实上，$f\left( x \right)$ 在定义域上单调递增． 备注2 问题3 求证：$\left\{ {{a_n}} \right\}$ 为递减数列，且 ${a_n} > 0$ 恒成立． 答案3 略 解析3 先证 $a_n>0$，因为 $a_1>0$，若 $f(a_n)>0$ 等价于 ${\mathrm e}^{a_n}-1>a_n$，这在 $a_n\ne 0$ 时恒成立．所以由数学归纳法容易得到 $a_n>0$．<br/>再用分析法证明 ${a_n} > f\left( {{a_n}} \right)$：<br/>要证明 $\{a_n\}$ 单调递减，即证明$$f(a_n)=\ln\dfrac{{\mathrm e}^{a_n}-1}{a_n}<a_n,$$也即证明$$a_n\cdot{\mathrm e}^{a_n}-{\mathrm e}^{a_n}+1>0,$$由 $(1)$ 知这只需 $a_n\ne 0$ 即可．而 $a_n>0$，所以命题得证． 备注3