题目 设 $0<a<b$，$f(x)=\dfrac 1x$，过 $(a,f(a))$，$(b,f(b))$ 两点的直线方程为 $y=cx+d$． 问题1 求证：当 $a\leqslant x\leqslant b$ 时，$cx+d\geqslant \dfrac 1x$； 答案1 略 解析1 因为$$cx+d=\dfrac {f(a)-f(b)}{a-b}(x-a)+\dfrac 1a=-\dfrac 1{ab}x+\dfrac {a+b}{ab},$$所以要证的不等式即$$-\dfrac 1{ab}x+\dfrac {a+b}{ab}\geqslant \dfrac 1x,$$因为 $0<a<b$，去分母整理得即证 $(x-a)(x-b)\leqslant 0$，这显然成立． 备注1 问题2 证明：$\ln(1+n)+\dfrac n{2(n+1)}\leqslant 1+\dfrac 12+\cdots+\dfrac 1n$． 答案2 略 解析2 由 $(1)$ 知$$\int_{k}^{k+1}\dfrac 1x{\rm d}x<\dfrac 12\left(\dfrac 1k+\dfrac 1{k+1}\right),$$分别取 $k=1,2,\cdots,n$，两边分别求和得$$\begin{split} \int_{1}^{n+1}\dfrac 1x{\rm d}x<&\dfrac 12\left(1+\dfrac 12+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots+\dfrac 1n+\dfrac 1{n+1}\right)\\=&1+\dfrac 12+\cdots+\dfrac 1n+\dfrac 12\left(\dfrac 1{n+1}-1\right),\end{split} $$整理即得要证的不等式． 备注2