已知 $a,b,c$ 是 $\triangle ABC$ 三条边的边长．
【难度】
【出处】
2012年清华大学暑期学校学业水平测试试题
【标注】
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证明：存在三个正实数 $x,y,z$，使得 $a=x+y,b=y+z,c=z+x$；标注答案略解析直接求解知取 $x=\dfrac {a+c-b}{2},y=\dfrac {a+b-c}{2},z=\dfrac {b+c-a}{2}$ 即可．
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证明：$\dfrac 32\leqslant \dfrac a{b+c}+\dfrac b{c+a}+\dfrac c{a+b}< 2$．标注答案略解析由第 $(1)$ 小题结论知\[\begin{split} \dfrac a{b+c}+\dfrac b{c+a}+\dfrac c{a+b}=&\dfrac {x+y}{x+y+2z}+\dfrac {y+z}{y+z+2x}+\dfrac {x+z}{x+z+2y}\\< &\dfrac {x+y}{x+y+z}+\dfrac {y+z}{x+y+z}+\dfrac {z+x}{x+y+z}=2.\end{split}\]另一方面，令 $a+b=u,b+c=v,c+a=w$，则有$$a=\dfrac{u+w-v}{2},b=\dfrac {u+v-w}{2},c=\dfrac {v+w-u}2,$$从而\[\begin{split} \dfrac a{b+c}+\dfrac b{c+a}+\dfrac c{a+b}=&\dfrac {u+w-v}{2v}+\dfrac {u+v-w}{2w}+\dfrac {v+w-u}{2u}\\=&\dfrac 12\left(\dfrac uv+\dfrac vu+\dfrac wv+\dfrac vw+\dfrac uw+\dfrac wu-3\right)\\\geqslant &\dfrac 12(2+2+2-3)=\dfrac 32.\end{split}\]从而不等式得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
