已知 $f(x)=x^2+px+q$，且方程 $f(f(x))=0$ 有且只有一个解．求证：$p\geqslant 0$，$q\geqslant 0$．
【难度】
【出处】
2011年北京大学保送生试题
【标注】
【答案】
略
【解析】
由 $f(f(x))=0$ 有解知 $f(x)=0$ 有解，不妨设 $f(x)=0$ 的解为 $x_1,x_2$（可以相等）．
$f(f(x))=0$ 的解即 $f(x)=x_1$ 与 $f(x)=x_2$ 的解，因为 $f(x)=0$ 有解，所以 $f(x)$ 的最小值小于等于零，所以要使得 $f(x)=x_1$ 与 $f(x)=x_2$ 只有一解，必须有 $x_1\leqslant 0$ 且 $x_2\leqslant 0$．
由韦达定理知 $p=-(x_1+x_2)\geqslant 0,q=x_1x_2\geqslant 0$．
$f(f(x))=0$ 的解即 $f(x)=x_1$ 与 $f(x)=x_2$ 的解，因为 $f(x)=0$ 有解，所以 $f(x)$ 的最小值小于等于零，所以要使得 $f(x)=x_1$ 与 $f(x)=x_2$ 只有一解，必须有 $x_1\leqslant 0$ 且 $x_2\leqslant 0$．
由韦达定理知 $p=-(x_1+x_2)\geqslant 0,q=x_1x_2\geqslant 0$．
答案
解析
备注
