题目 设 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 是集合 $\left\{ x\mid x=\displaystyle \sum_{k=m}^{m+n}k,m,n\in\mathbb N^*,n\geqslant 2\right\}$ 中所有的数从小到大排列成的数列，此数列的前 $n$ 项和为 ${S_n}$． 问题1 试判断 $13,26,32$ 是不是数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 中的项，说明理由； 答案1 $13,26$ 是 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 中的项，$32$ 不是数列中的项 解析1 $13 = 6 + 7 ,26 = 5 + 6 + 7 + 8$，故 $13,26$ 是 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 中的项．<br/>$32$ 不是数列中的项，否则，设$$32 = n + \left( {n + 1} \right) + \cdots + \left( {n + k - 1} \right),$$其中 $k \geqslant 2 ,n \in {\mathbb{N}}^{*}$，于是$$32 = \dfrac{{k\left( {2n + k - 1} \right)}}{2},$$即$$k\left( {2n + k - 1} \right) = 64 = {2^6},$$而 $k$ 与 $2n + k - 1$ 一奇一偶，所以奇数必定是 $1$，但 $2n + k - 1 > 1$，所以只能 $k = 1$，矛盾，故 $32$ 不是数列中的项． 备注1 问题2 求 ${a_{100}},{S_{100}}$； 答案2 ${a_{100}} = 107$．${S_{100}}= 5651$ 解析2 首先 ${a_1} = 3$，其次形如 ${2^k}(k \in {\mathbb {N}}^{*})$ 的数不是数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 中的项（证明类似于第 $(1)$ 小题），下证其余的数都是数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 中的项．<br/>剩下的数都可以表示成 ${2^m}\left( {2k + 1} \right)$ 的形式，其中 $m,k \in {\mathbb{N}}^{*} ,k \geqslant 1$．<br/><case>情形一</case>当 ${2^m} > k$ 时，$${2^m}\left( {2k + 1} \right) = \left( {{2^m} - k} \right) + \left( {{2^m} - k + 1} \right) + \cdots + \left( {{2^m} + k} \right);$$<case>情形二</case>当 ${2^m} \leqslant k$ 时，$${2^m}\left( {2k + 1} \right) = \left[ {k - \left( {{2^m} - 1} \right)} \right] + \left[ {k - \left( {{2^m} - 2} \right)} \right] + \cdots + k + \left( {k + 1} \right) + \cdots + \left[ {\left( {k + 1} \right) + \left( {{2^m} - 1} \right)} \right].$$所以形如 ${2^m}\left( {2k + 1} \right)$ 的数都可以表示成两个或两个以上连续正整数的和，即是数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 中的项．<br/>${2^6} < 100 < {2^7}$，${a_{100}} = 107$．$${S_{100}} = \left( {1 + 2 + \cdots + 107} \right) - \left( {1 + 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + {2^5} + {2^6}} \right) = 5651.$$ 备注2 问题3 若将 $k$ 表示成两个或两个以上的连续正整数的和的形式，恰有 $i$ 种表示法，则称 $k$ 具有性质 ${P_i}$（如 $15$ 具有性质 ${P_3}$：$15 = 7 + 8 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5$）．试求具有性质 ${P_5}$ 的最小正整数． 答案3 $45$ 解析3 由第 $(2)$ 题可知，正整数 $M$ 的每一个大于 $1$ 的奇因子，都一一对应于将 $M$ 表示成两个或两个以上的连续正整数的和的一种形式，所以具有性质 $P_5$ 的正整数恰有 $5$ 个大于 $1$ 的奇因子，包括 $1$ 在内则恰有 $6$ 个奇因子．<br/>因此具有性质 $P_5$ 的最小正整数一定可以分解成 $\alpha^5$ 或 $\beta^2\gamma$ 的形式，其中 $\alpha,\beta,\gamma$ 都是奇质数．易知\[\begin{split}<br/>3^2\cdot 5=45<br/>&=22+23\\<br/>&=14+15+16\\<br/>&=7+8+9+10+11\\<br/>&=5+6+7+8+9+10\\<br/>&=1+2+3+4+5+6+7+8+9<br/>\end{split}\]是其中最小的一个．故具有性质 $P_5$ 的最小正整数为 $45$． 备注3