在 $\left\{{{a_n}}\right\}$ 中，${a_1}=4$，${a_n}=\sqrt{{a_{n-1}}+6}$．
【难度】
【出处】
2000年上海交通大学连读班测试题
【标注】
-
求证：$\left|{{a_n}-3}\right|<\dfrac{1}{3}\left|{{a_{n-1}}-3}\right|$；标注答案略解析容易证明 ${a_n}>3$．
设 ${b_n}={a_n}-3$，则$${b_n}^2+6{b_n}+9={b_{n-1}}+9,$$于是$${b_n}^2+6{b_n}={b_{n-1}}.$$所以$$\dfrac{{{b_n}}}{{{b_{n-1}}}}=\dfrac{1}{{{b_n}+6}}=\dfrac{1}{{{a_n}+3}}<\dfrac{1}{6}<\dfrac{1}{3}.$$所以命题得证． -
求 $\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{a_n}$．标注答案$3$解析由第 $(1)$ 小题可得$$\left|{{a_n}-3}\right|<\dfrac{1}{{{3^{n-1}}}},$$根据数列极限的定义，$$\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}{a_n}=3.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
