北京采用摇号买车的方式．有 $20$ 万人摇号，每个月有 $2$ 万个名额．
【难度】
【出处】
2011年清华大学夏令营试题
【标注】
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如果每个月摇上的退出摇号，没有摇上的继续进入下月摇号，则平均每个人摇上需要多长时间？标注答案$5.5$ 个月解析每两万人摇上号所需要时间分别为 $1,2,3,\cdots,10$，所以平均时间为$$\dfrac 1{20}\times 2\times(1+2+\cdots+10)=5.5$$个月．
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保持 $(1)$ 的条件不变，如果每个月都有 $2$ 万人补充进摇号队伍，则平均每个人摇上需要多长时间？标注答案$10$ 个月解析每个月的摇号中都恰有 $\dfrac 1{10}$ 的概率摇上，以每个人进入摇号的月算第一个月，则它摇到号的月构成一个随机变量 $X$，有$$P(X=n)=\left(1-\dfrac 1{10}\right)^{n-1}\cdot\dfrac 1{10},$$平均每个人摇上号的时间为 $X$ 的数学期望$$E(X)=\dfrac 1{10}\cdot 1+\dfrac 9{10}\cdot\dfrac 1{10}\cdot 2+\cdots+\left(\dfrac 9{10}\right)^{n-1}\cdot\dfrac 1{10}\cdot n+\cdots,$$记$$S_n=1+\dfrac 9{10}\cdot 2+\cdots+\left(\dfrac 9{10}\right)^{n-1}\cdot n,$$这是一个差比数列求和，有$$\dfrac 9{10}S_n=\dfrac 9{10}\cdot 1+\left(\dfrac 9{10}\right)^2\cdot 2+\cdots+\left(\dfrac 9{10}\right)^n\cdot n,$$两式作差得$$\dfrac 1{10}S_n=1+\dfrac 9{10}+\cdots+\left(\dfrac 9{10}\right)^{n-1}-\left(\dfrac 9{10}\right)^n\cdot n=10-(n+10)\cdot\left(\dfrac 9{10}\right)^n.$$而$$E(X)=\lim\limits_{n\to\infty}{\dfrac 1{10}S_n}=10.$$即平均每个人摇上号需要 $10$ 个月．
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在 $(2)$ 的条件下，如果交管所可以控制摇上号的人的比例，使其成为每个季度第一个月摇上的概率为 $\dfrac 1{10}$，第二个月为 $\dfrac 19$，第三个月为 $\dfrac 18$，则平均每个人摇上需要多长时间？标注答案$9$ 个月解析与 $(2)$ 的思路类似，摇到号的月构成的随机变量 $Y$ 满足\[\begin{split} E(Y)=&\dfrac 1{10}\cdot 1+\dfrac 9{10}\cdot \dfrac 19\cdot 2+\dfrac {9}{10}\cdot\dfrac 89\cdot \dfrac 18\cdot 3+\dfrac {9}{10}\cdot\dfrac 89\cdot \dfrac 78\cdot \dfrac 1{10}\cdot 4+\dfrac {9}{10}\cdot\dfrac 89\cdot \dfrac 78\cdot \dfrac 9{10}\cdot\dfrac 19\cdot 5+\dfrac {9}{10}\cdot\dfrac 89\cdot \dfrac 78\cdot \dfrac 9{10}\cdot\dfrac 89\cdot \dfrac 18\cdot 6+\cdots\\=&\dfrac 1{10}\cdot(1+2+3)+\dfrac 7{10}\cdot \dfrac 1{10}(4+5+6)+\left(\dfrac 7{10}\right)^2\cdot\dfrac 1{10}\cdot(7+8+9)+\cdots,\end{split}\]记\[\begin{split} T_{3n}=&(1+2+3)+\dfrac 7{10}\cdot(4+5+6)+\cdots+\left(\dfrac 7{10}\right)^{n-1}\cdot(3n-2+3n-1+3n)\\=&3\left[2+\dfrac 7{10}\cdot 5+\left(\dfrac 7{10}\right)^2\cdot 8+\cdots+\left(\dfrac 7{10}\right)^{n-1}\cdot (3n-1)\right].\end{split}\]差比数列求和得 $T_{3n}=30\left[3-(n+3)\left(\dfrac 7{10}\right)^n\right]$．
对 $T_{3n}$ 取极限有$$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac 1{10}T_{3n}=\lim\limits_{n\to\infty}3\left[3-(n+3)\left(\dfrac 7{10}\right)^n\right]=9.$$考虑到 $T_{3n-1}=T_{3n}-\left(\dfrac 7{10}\right)^{n-1}\cdot 3n$，$T_{3n-2}=T_{3n}-\left(\dfrac 7{10}\right)^{n-1}\cdot (3n-1+3n)$，所以$$\lim_{n\to\infty}T_{3n-1}=\lim_{n\to\infty}T_{3n-2}=\lim_{n\to\infty}T_{3n}=9,$$所以 $E(Y)=9$，即平均每个人 $9$ 个月可以摇上号．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
