已知：$\sin \alpha + \sin \beta = a$，$\cos \alpha + \cos \beta = a + 1$，求 $\sin \left( {\alpha + \beta } \right)$ 及 $\cos \left( {\alpha + \beta } \right)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
两式平方相加，可得$$\cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \dfrac{{2{a^2} + 2a - 1}}{2}\cdots\cdots \text{ ① },$$两式平方相减，可得$$\cos 2\alpha + \cos 2\beta + 2\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = 2a + 1,$$即$$2\cos \left( {\alpha + \beta } \right)\cos \left( {\alpha - \beta } \right) + 2\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = 2a + 1\cdots\cdots\text{ ② }.$$两式相乘，可得$$\sin \left( {\alpha + \beta } \right)\cos \left( {\alpha - \beta } \right) + \sin \left( {\alpha + \beta } \right) = {a^2} + a\cdots\cdots \text{ ③ }.$$$ ① $ 代入 $ ② $，解得$$\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \dfrac{{2a + 1}}{{2{a^2} + 2a + 1}},$$$ ① $ 代入 $ ③ $，解得$$\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \dfrac{{2{a^2} + 2a}}{{2{a^2} + 2a + 1}}.$$
答案
解析
备注
