设对于 $x > 0$，$f(x) = \dfrac{{{{\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)}^6} - \left( {{x^6} + \dfrac{1}{{{x^6}}}} \right) - 2}}{{{{\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)}^3} + {x^3} + \dfrac{1}{{{x^3}}}}}$，求 $f\left( x \right)$ 的最小值．
【难度】
【出处】
2001年上海交通大学连读班测试
【标注】
【答案】
$6$
【解析】
设 $t = x + \dfrac{1}{x}$，则 $t \geqslant 2$．因为$${\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^3} = {x^3} + \dfrac{1}{{{x^3}}} + 3\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right),$$所以$${x^3} + \dfrac{1}{{{x^3}}} = {t^3} - 3t,$$$${x^6} + \dfrac{1}{{{x^6}}} = {\left( {{x^3} + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)^2} - 2 = {\left( {{t^3} - 3t} \right)^2} - 2.$$所以\[f\left( x \right) = \dfrac{{{t^6} - {{\left( {{t^3} - 3t} \right)}^2} + 2 - 2}}{{{t^3} + {t^3} - 3t}} = \dfrac{{6{t^4} - 9{t^2}}}{{2{t^3} - 3t}} = 3t \geqslant 6.\]当且仅当 $x = 1$ 时取得等号．
答案
解析
备注
