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已知 $\triangle ABC$ 中，$B(-1,0)$，$C(1,0)$．设点 $G,I$ 分别为 $\triangle ABC$ 的重心和内心，且 $GI\parallel BC$，求 $A$ 点的轨迹方程．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 题型
    >
    解析几何
    >
    轨迹问题
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    椭圆
    >
    椭圆的定义
    >
    椭圆的第一定义
【答案】
$\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}{3}=1,y\neq 0.$
【解析】
思路一如图，延长 $AI$ 交 $BC$ 于点 $D$，根据重心和内心的性质，有$$\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{AC}{CD}=\dfrac{AI}{DI}=\dfrac {AG}{GO}=\dfrac 21,$$于是$$\dfrac{AB+AC}{BD+DC}=2,$$即 $AB+AC=4$．思路二由于 $GI\parallel BC$，于是$$S_{\triangle IBC}=S_{\triangle GBC}=\dfrac 13S_{\triangle ABC},$$从而$$S_{\triangle IAB}+S_{\triangle IAC}=2S_{\triangle IBC},$$即$$\dfrac 12 AB\cdot r+\dfrac 12 AC\cdot r=BC\cdot r,$$其中 $r$ 为 $\triangle ABC$ 的内切圆半径，于是 $AB+AC=4$．
根据椭圆的定义可知，$A$ 点的轨迹方程为$$\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}{3}=1,y\neq 0.$$
答案 解析 备注
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