在 $\left[ {0,{{\pi }}} \right]$ 内，方程 $a\cos 2x + 3a\sin x - 2 = 0$ 有且仅有两解，求 $a$ 的范围．
【难度】
【出处】
2002年复旦大学保送生招生测试
【标注】
【答案】
$\left(1,2\right]\cup\left\{\dfrac{16}{17}\right\}$
【解析】
原方程即$$ a\left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right) + 3a\sin x - 2 = 0,$$亦即$$ 2a{\sin ^2}x - 3a\sin x + 2 - a = 0,$$设 $\sin x = t$，则原问题转化为方程 $2a{t^2} - 3at + 2 - a = 0$ 在 $\left[ {0,1} \right)$ 上有且仅有一解．
显然 $a \ne 0$，$\Delta = 9{a^2} - 8a\left( {2 - a} \right) = 17{a^2} - 16a$，对称轴为 $t = \dfrac{3}{4}$．
情形一 当 $a = \dfrac{{16}}{{17}}$ 时，$\Delta = 0$，方程只有一解为 $\dfrac{3}{4}$；
情形二 当 $a = 2$ 时，方程在 $\left[ {0,1} \right)$ 上只有一解为 $0$；
情形三 当 $\Delta > 0$ 且 $a$ 非 $(1)$ $(2)$ 中值时，$a < 0$ 或 $a > \dfrac{{16}}{{17}}$ 且 $a \ne 2$ 区间两端异号，此时 $\left( {2 - a} \right)\left( {2 - 2a} \right) < 0$，解得 $1 < a < 2$．
综上所述，$a$ 的范围为 $1 < a \leqslant 2$ 或 $a = \dfrac{{16}}{{17}}$．
显然 $a \ne 0$，$\Delta = 9{a^2} - 8a\left( {2 - a} \right) = 17{a^2} - 16a$，对称轴为 $t = \dfrac{3}{4}$．
综上所述，$a$ 的范围为 $1 < a \leqslant 2$ 或 $a = \dfrac{{16}}{{17}}$．
答案
解析
备注
