根据已知 $a={\log_3}2$，$b={\log_2}3-1$，$c=2{\log_3}2-1$，于是令 $t={\log_2}3$，则$$a=\dfrac 1t,b=t-1,c=\dfrac 2t-1.$$由于 ${\log_{2^3}}3^2>1$，于是 $\dfrac 32<{\log_2}3<2$，因此 $c<\dfrac 13$，而 $a,b>\dfrac 12$，从而有 $c$ 为最小数．
难点在于比较 $a$ 与 $b$ 的大小关系，作差\[\begin{split}b-a&=(t-1)-\dfrac 1t\\&=\dfrac{t^2-t-1}t\\&=\dfrac 1t\left(t-\dfrac{1+\sqrt 5}2\right)\left(t-\dfrac{1-\sqrt 5}2\right),\end{split}\]因此只需要比较 $t$ 与 $\dfrac{1+\sqrt 5}2$ 的大小．
事实上，由 ${\log_{2^8}}3^5={\log_{256}{243}}<1$ 得$${\log_2}3<\dfrac 85=1.6<\dfrac{1+\sqrt 5}{2},$$于是 $b-a<0$，即 $b<a$．
综上，$a,b,c$ 的大小关系为 $c<b<a$．