题目 设函数 $f(x)=(x+a)\ln x$，$g(x)=\dfrac{x^2}{{\rm e}^x}$．已知曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线与直线 $2x-y=0$ 平行． 问题1 求 $a$ 的值； 答案1 $1$ 解析1 根据题意，$f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\ln x+\dfrac ax+1,$$而 $f'(1)=2$，因此解得 $a=1$． 备注1 问题2 是否存在自然数 $k$，使得方程 $f(x)=g(x)$ 在 $(k,k+1)$ 内存在唯一的根？如果存在，求出 $k$；如果不存在，请说明理由； 答案2 存在自然数 $k=1$ 解析2 由 $(1)$ 知，$f(x)=(x+1)\ln x$，$f'(x)=\ln x+\dfrac 1x+1$，因此 $f'(x)$ 的导函数$$f''(x)=\dfrac{x-1}{x^2},$$于是 $f'(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty )$ 上单调递增，在 $x=1$ 处取得最小值为 $f'(1)=2$，因此 $f(x)$ 是 $(0,+\infty )$ 上的单调递增函数．<br/>对于函数 $g(x)$，其导函数$$g'(x)=\dfrac{x(2-x)}{{\rm e}^{-x}},$$因此函数 $g(x)$ 在 $(0,2)$ 上单调递增，在 $(2,+\infty )$ 上单调递减，在 $x=2$ 处取得极大值为 $g(2)=\dfrac{4}{{\rm e}^2}$．<br/>结合 $f(1)=0$，$f(2)=3\ln 2$，$g(0)=0$，$g(1)=\dfrac{1}{\rm e}$，可以画出函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的草图，如图．<img src="/static/images/8497957eac5c5f1de06cc1047ed8ab95.png" class="img-responsive" />在区间 $(1,2)$ 上，令 $h(x)=f(x)-g(x)$，则 $h(1)=-\dfrac 1{\rm e}<0$，而 $h(2)=3\ln 2-\dfrac{4}{{\rm e}^2}>0$，因此函数 $h(x)$ 在 $(1,2)$ 上存在零点．<br/>由于当 $x>0$ 时，$\ln x+\dfrac 1x +1\geqslant 2$，于是在区间 $(0,2]$ 上，因此 $h(x)$ 的导函数$$h'(x)=\ln x+\dfrac 1x+1-\dfrac{x(2-x)}{{\rm e}^x}\geqslant 2-x(2-x)=1+(x-1)^2>0,$$而在区间 $(2,+\infty )上$，有$$h'(x)=\ln x+\dfrac 1x+1-\dfrac{x(2-x)}{{\rm e}^x}>2>0,$$于是 $h(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，因此 $h(x)$ 在 $(1,2)$ 上的零点是唯一的．这样就证明了存在自然数 $k=1$，使得方程 $f(x)=g(x)$ 在 $(k,k+1)$ 内存在唯一的根． 备注2 问题3 设函数 $m(x)=\min\{f(x),g(x)\}$（$\min\{p,q\}$ 表示 $p,q$ 中的较小值），求 $m(x)$ 的最大值． 答案3 $\dfrac{4}{{\rm e}^2}$ 解析3 设 $(2)$ 中 $h(x)$ 在 $(1,2)$ 上的零点为 $t$，则由于 $h(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，因此$$m(x)=\begin{cases} f(x),0<x<t,\\g(x),x\geqslant t,\end{cases}$$从而可得 $m(x)$ 在 $(0,2)$ 上单调递增，在 $(2,+\infty )$ 上单调递减，在 $x=2$ 处取得最大值 $m(2)=\dfrac{4}{{\rm e}^2}$． 备注3