已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的半焦距为 $c$，原点 $O$ 到经过两点 $(c,0)$，$(0,b)$ 的直线的距离为 $\dfrac 12c$．
【难度】
【出处】
2015年高考陕西卷（理）
【标注】
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求椭圆 $E$ 的离心率；标注答案$\dfrac{\sqrt 3}2$解析根据题意，以原点 $O$，点 $(c,0)$，点 $(0,b)$ 为顶点的三角形的面积为$$\dfrac 12bc=\dfrac 12\sqrt{b^2+c^2}\cdot\dfrac 12c,$$化简得 $b=\dfrac a2$，进而可得 $e=\dfrac ca=\dfrac{\sqrt 3}2$．
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如图，$AB$ 是圆 $M:(x+2)^2+(y-1)^2=\dfrac 52$ 的一条直径，若椭圆 $E$ 经过 $A,B$ 两点，求椭圆 $E$ 的方程．
标注答案$\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{y^2}3=1$解析根据 $(1)$ 中的结论，可设椭圆方程为 $E:\dfrac{x^2}4+y^2=b^2$，设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$$\dfrac{x_1^2}{4}+y_1^2=b^2,\dfrac{x_2^2}4+y_2^2=b^2,$$两式相减可得$$\dfrac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}4+(y_1+y_2)(y_1-y_2)=0.$$因为线段 $AB$ 的中点为 $M(-2,1)$，因此$$x_1+x_2=-4,y_1+y_2=2,$$代入上式，可得$$\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac 12,$$设直线 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$，则有$$\cos\theta=\dfrac 2{\sqrt 5},\sin\theta=\dfrac{1}{\sqrt 5}.$$设圆 $M$ 的半径为 $r$，则 $A,B$ 点的坐标为$$\left(-2\pm r\cos\theta,1\pm r\sin\theta\right),$$即$$\left(-2\pm\sqrt 2,1\pm\dfrac {\sqrt 2}2\right),$$因此$$\dfrac{(-2\pm\sqrt 2)^2}4+\left(1\pm\dfrac{\sqrt 2}2\right)^2=b^2,$$化简得 $b^2=3$，从而椭圆 $E$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{y^2}3=1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
