如图，椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）经过点 $A(0,-1)$，且离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$．
【难度】
【出处】
2015年高考陕西卷（文）
【标注】
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求椭圆 $E$ 的方程；标注答案$\dfrac{x^2}2+y^2=1$解析根据题意，有 $b=1$，而 $e=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\dfrac{\sqrt 2}2$，于是 $a=\sqrt 2$，因此椭圆 $E$ 的方程为 $\dfrac{x^2}2+y^2=1$．
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经过点 $(1,1)$，且斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $P,Q$（均异于点 $A$），证明：直线 $AP$ 与 $AQ$ 的斜率之和为 $2$．标注答案略解析如图，以 $A$ 为坐标原点建立平面直角坐标系 $x'Oy'$（$y'$ 轴与 $y$ 轴重合），则点 $(1,1)$ 在 $x'Oy'$ 坐标系下为 $(1,2)$，设此时直线 $PQ$ 方程为 $mx'+ny'=1$，则有 $m+2n=1$．
在坐标系 $x'Oy'$ 下，椭圆方程变为$$\dfrac{x'^2}2+(y'-1)^2=1,$$即$$\dfrac 12x'^2+y'^2-2y'=0,$$与直线 $PQ$ 的方程化齐次联立可得$$\dfrac 12x'^2+y'^2-2y'(mx'+ny')=0,$$即$$(1-2n)\left(\dfrac{y'}{x'}\right)^2-2m\cdot\left(\dfrac{y'}{x'}\right)+\dfrac 12=0,$$因此直线 $AP$ 与直线 $AQ$ 的斜率之和（此值与坐标系无关）为$$-\dfrac{-2m}{1-2n}=2,$$所以原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
