题目 设 $f_n\left(x\right)=x+x^2+\cdots+x^n-1$，$x\geqslant 0$，$n\in \mathbb N$，$n\geqslant 2$． 问题1 求 $f'_n\left(2\right)$； 答案1 $(n-1)\cdot 2^n+1$ 解析1 根据题意，有$$f_n(x)=\begin{cases} \dfrac{x(1-x^n)}{1-x}-1,&x\neq 1,\\n-1,&x=1.\end{cases}$$因此当 $x>1$ 时，$f_n(x)$ 的导函数$$f_n'(x)=\dfrac{[(x-1)\cdot n-1]\cdot x^n+1}{(x-1)^2},$$进而可得 $f_n'(2)=(n-1)\cdot 2^n+1$． 备注1 问题2 证明：$f_n\left(x\right)$ 在 $\left(0,\dfrac 23\right)$ 内有且仅有一个零点（记为 $a_n$），且 $0<a_n-\dfrac 12<\dfrac 13\left(\dfrac 23\right)^n$． 答案2 略 解析2 根据 $(1)$ 中的结果，有 $f_n(0)=-1<0$，且当 $n\geqslant 2$ 时，有$$f_n\left(\dfrac 23\right)=\dfrac{\dfrac 23\left[1-\left(\dfrac 23\right)^n\right]}{1-\dfrac 23}-1=1-2\cdot\left(\dfrac 23\right)^n>0,$$从而 $f_n(x)$ 在 $\left(0,\dfrac 23\right)$ 上有零点．<br/>另一方面，在区间 $\left(0,\dfrac 23\right)$ 上，$f_n(x)$ 的导函数$$f_n'(x)=1+2x+\cdots+nx^{n-1}>0,$$于是 $f_n(x)$ 在 $\left(0,\dfrac 23\right)$ 上单调递增，因此在区间 $\left(0,\dfrac 23\right)$ 上的零点唯一．<br/>注意到$$\dfrac{a_n-a_n^{n+1}}{1-a_n}-1=0,$$于是$$a_n-\dfrac 12=\dfrac 12\cdot a_n^{n+1}.$$由于 $0<a_n<\dfrac 23$，因此$$0<a_n-\dfrac 12<\dfrac 12\cdot \left(\dfrac 23\right)^{n+1}=\dfrac 13\left(\dfrac 23\right)^n,$$整理即得欲证不等式成立． 备注2