己知椭圆 $x^2+2y^2=1$，过原点的两条直线 $l_1$ 和 $l_2$ 分别与椭圆交于点 $A,B$ 和 $C,D$．记得到的平行四边形 $ACBD$ 的面积为 $S$．
【难度】
【出处】
2015年高考上海卷（理）
【标注】
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设 $A\left(x_1,y_1\right)$，$C\left(x_2,y_2\right)$．用 $A,C$ 的坐标表示点 $C$ 到直线 $l_1$ 的距离，并证明 $S=2{\left|{x_1y_2-x_2y_1}\right|}$；标注答案$\dfrac{|x_1y_2-x_2y_1|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}$解析直线 $l_1$ 的方程为 $y_1x-x_1y=0$，因此点 $C$ 到直线 $l_1$ 的距离$$d=\dfrac{|x_1y_2-x_2y_1|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}},$$进而$$S=\dfrac 12\cdot 2d\cdot 2|OA|=2\cdot \dfrac{|x_1y_2-x_2y_1|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}\cdot \sqrt{x_1^2+y_1^2}=2|x_1y_2-x_2y_1|.$$因此原命题得证．
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设 $l_1$ 与 $l_2$ 的斜率之积为 $-\dfrac 12$，求面积 $S$ 的值．
标注答案$\sqrt 2$解析在仿射变换 $\begin{cases} x'=x,\\y'=\sqrt 2y\end{cases}$ 下，椭圆 $x^2+2y^2=1$ 变为圆 $x'^2+y'^2=1$，如图．
因为直线 $l_1$ 与 $l_2$ 的斜率之积为 $-\dfrac 12$，所以仿射变换后直线 $l'_1$ 与 $l'_2$ 的斜率之积为 $-1$．这样就得到四边形 $A'C'B'D'$ 是对角线长为 $2$ 的正方形，其面积$$S'=\dfrac 12\cdot 2\cdot 2=2,$$因此$$S=\dfrac{1}{\sqrt 2}S'=\sqrt 2.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
