如图，已知抛物线 $C_1:y=\dfrac 14x^2$，圆 $C_2:x^2+(y-1)^2=1$，过点 $P(t,0)$（$t>0$）作不过原点 $O$ 的直线 $PA,PB$ 分别与抛物线 $C_1$ 和圆 $C_2$ 相切，$A,B$ 为切点（直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求点 $A,B$ 的坐标；标注答案$A(2t,t^2)$，$B$ $\left(\dfrac{2t}{1+t^2},\dfrac{2t^2}{1+t^2}\right)$解析设直线 $PA$ 的方程为 $PA:y=k(x-t)$，联立直线方程与抛物线方程，可得$$x^2-4kx+4kt=0,$$即$$(x-2k)^2+4k(t-k)=0,$$于是可得 $k=t$（$k=0$ 舍去），同时 $A$ 点的横坐标为 $2k=2t$，因此 $A(2t,t^2)$．
注意到直线 $PO$ 与圆 $C_2$ 相切，因此 $B$ 点是 $O$ 点关于直线 $PC_2:y=-\dfrac 1tx+1$ 的对称点．设 $B(m,n)$，则$$\dfrac{n}{m}\cdot\left(-\dfrac 1t\right)=-1,\dfrac{n}2=-\dfrac 1t\cdot \dfrac m2+1,$$解得$$m=\dfrac{2t}{1+t^2},n=\dfrac{2t^2}{1+t^2},$$于是 $B$ 点坐标为 $\left(\dfrac{2t}{1+t^2},\dfrac{2t^2}{1+t^2}\right)$． -
求 $\triangle PAB$ 的面积．标注答案$\dfrac 12t^3$解析由 $(1)$ 中结论，$PA:y=tx-t^2$，因此点 $B$ 到直线 $PA$ 的距离为$$\dfrac{\left|t\cdot\dfrac{2t}{1+t^2}-\dfrac{2t^2}{1+t^2}-t^2\right|}{\sqrt{1+t^2}}=\dfrac{t^2}{\sqrt{1+t^2}},$$于是三角形 $PAB$ 的面积为$$\dfrac 12\cdot\sqrt{1+t^2}\cdot |t|\cdot\dfrac{t^2}{\sqrt{1+t^2}}=\dfrac 12t^3.$$
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
