题目 设函数 $f\left(x\right)=x^2+ax+b\left(a,b\in{\mathbb R}\right)$． 问题1 当 $b=\dfrac{a^2}{4}+1$ 时，求函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left[-1,1\right]$ 上的最小值 $g\left(a\right)$ 的表达式； 答案1 $g(a)=\begin{cases} \dfrac 14a^2+a+2,&a\in (-\infty ,-2],\\1,&a\in (-2,2),\\\dfrac 14a^2-a+2,&a\in [2,+\infty ).\end{cases}$ 解析1 当 $b=\dfrac {a^2}4+1$ 时，$f(x)=\left(x+\dfrac a2\right)^2+1$，按 $-\dfrac a2$ 与 $-1,1$ 的大小关系讨论．<br/><case>情形一</case>当 $a\leqslant -2$ 时，函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上单调递减，$$g(a)=f(1)=\dfrac 14a^2+a+2$$<case>情形二</case>当 $-2<a<2$ 时，函数 $f(x)$ 在区间 $\left[-1,-\dfrac a2\right]$ 上单调递减，在区间 $\left[-\dfrac a2,1\right]$ 上单调递增，$$g(a)=f\left(-\dfrac a2\right)=1$$<case>情形三</case>当 $a\geqslant 2$ 时，函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上单调递增，$$g(a)=f(-1)=\dfrac 14a^2-a+2$$综上知，$g(a)=\begin{cases} \dfrac 14a^2+a+2,&a\in (-\infty ,-2],\\1,&a\in (-2,2),\\\dfrac 14a^2-a+2,&a\in [2,+\infty ).\end{cases}$ 备注1 问题2 已知函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left[-1,1\right]$ 上存在零点，$0\leqslant b-2a\leqslant 1$，求 $b$ 的取值范围． 答案2 $\left[-3,9-4\sqrt 5\right]$ 解析2 根据题意，$f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上存在零点即$$f(-1)\cdot f(1)\leqslant 0 \lor\begin{cases} \Delta=a^2-4b\geqslant 0,\\-\dfrac a2\in (-1,1),\\f(-1)>0,\\f(1)>0,\end{cases}$$即$$(a-b-1)(a+b+1)\geqslant 0\lor\begin{cases} a^2\geqslant 4b,\\-2<a<2,\\ a-b-1<0,\\ a+b+1>0,\end{cases}$$在平面直角坐标系 $aOb$ 中，注意到直线 $a-b-1=0$ 与抛物线 $b=\dfrac 14a^2$ 相切于 $(2,1)$，直线 $a+b+1=0$ 与抛物线 $b=\dfrac 14a^2$ 相切于 $(-2,1)$，又有 $2a\leqslant b\leqslant 2a+1$，因此规划如图．<img src="/static/images/533ebbba129eaab1deaa3a7e0e15b529.png" class="img-responsive" />可以计算得点 $M\left(4-2\sqrt 5,9-4\sqrt 5\right)$，$N(-2,-3)$，因此 $b$ 的取值范围是 $\left[-3,9-4\sqrt 5\right]$． 备注2