用 $(a,b)$ 表示正整数 $a$ 与 $b$ 的最大公约数．在无穷正整数列 $\{a_n\}$ 中，$a_3=6$，当 $n\geqslant 4$ 时，有\[a_n=\begin{cases} a_{n-1}+1,&(n,a_{n-1})=1,\\ 2n,&(n,a_{n-1})\ne 1,\end{cases}\]则下列判断正确的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT附加学科测试数学部分（二测）
【标注】
【答案】
BCD
【解析】
计算一些项后可以发现规律．\[\begin{array}{c|cccccccccccccccccccccc}\hline
n&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24\\ \hline
a_n&6&8&9&12&13&14&15&20&21&24&25&26&27&28&29&30&31&32&33&44&45&48\\ \hline
&&\triangle&&\triangle&&&&\triangle&&\triangle&&&&&&&&&&\triangle&&\triangle\\ \hline
\end{array}\]注意那些标有 $\triangle $ 符号的 $n$，它们组成数列 $\{l_n\}$，其中 $l_1=4$．考虑到若 $a_n=2n$，且 $n-1$ 的最小素因子为 $p$，则由辗转相除法，有\[(2n+m-1,n+m)=(n-1,n+m)=(n-1,m+1),\]于是\[(2n+m-1,n+m)=\begin{cases} 1,&m=1,2,\cdots,p-2,\\
p,&m=p-1.\end{cases}\]因此\[l_{n+1}=l_n-1+N(l_n-1),\]其中 $N(k)$ 表示正整数 $k$ 的最小素因子．这就意味着若 $a_l=2l$，则在接下来会出现 $p-2$ 次 $+1$ 和 $1$ 次 $+p$，可知选项 CD 正确．
考虑数列 $\{a_{n+1}-a_n\}$ 的子列 $\{a_{l_n}-a_{l_n-1}\}$，考虑到\[a_{l_{n+1}}-a_{l_{n+1}-1}=N(l_{n}-1)\]均为素数，因此数列 $\{a_{n+1}-a_n\}$ 中有无穷多个素数项．
n&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20&21&22&23&24\\ \hline
a_n&6&8&9&12&13&14&15&20&21&24&25&26&27&28&29&30&31&32&33&44&45&48\\ \hline
&&\triangle&&\triangle&&&&\triangle&&\triangle&&&&&&&&&&\triangle&&\triangle\\ \hline
\end{array}\]注意那些标有 $\triangle $ 符号的 $n$，它们组成数列 $\{l_n\}$，其中 $l_1=4$．考虑到若 $a_n=2n$，且 $n-1$ 的最小素因子为 $p$，则由辗转相除法，有\[(2n+m-1,n+m)=(n-1,n+m)=(n-1,m+1),\]于是\[(2n+m-1,n+m)=\begin{cases} 1,&m=1,2,\cdots,p-2,\\
p,&m=p-1.\end{cases}\]因此\[l_{n+1}=l_n-1+N(l_n-1),\]其中 $N(k)$ 表示正整数 $k$ 的最小素因子．这就意味着若 $a_l=2l$，则在接下来会出现 $p-2$ 次 $+1$ 和 $1$ 次 $+p$，可知选项 CD 正确．
考虑数列 $\{a_{n+1}-a_n\}$ 的子列 $\{a_{l_n}-a_{l_n-1}\}$，考虑到\[a_{l_{n+1}}-a_{l_{n+1}-1}=N(l_{n}-1)\]均为素数，因此数列 $\{a_{n+1}-a_n\}$ 中有无穷多个素数项．
题目
答案
解析
备注
