题目 设函数 $f(x)=a\cos{2x}+(a-1)(\cos x+1)$，其中 $a>0$，记 $|f(x)|$ 的最大值为 $A$． 问题1 求 $f'(x)$； 答案1 $f'(x)=-2a\sin{2x}+(1-a)\sin x$ 解析1 函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=-2a\sin{2x}+(1-a)\sin x.$$ 备注1 问题2 求 $A$； 答案2 $A=\begin{cases} 2-3a,& a\in\left(0,\dfrac 15\right),\\ \dfrac 18\left(a+\dfrac{1}{a}+6\right),&a\in \left[\dfrac 15,1\right],\\3a-2,&a\in (1,+\infty).\end{cases}$ 解析2 由二倍角公式，整理得$$f(x)=2a\cos ^2x+(a-1)\cos x-1,$$令 $t=\cos x$（$t\in [-1,1]$），有$$g(t)=2at^2+(a-1)t-1,t\in [-1,1],$$则函数 $|f(x)|$ 的最大值 $A$ 即函数 $|g(t)|$ 的最大值．按二次函数 $g(t)$ 的对称轴 $t=\dfrac{1-a}{4a}$ 是否在区间 $[-1,1]$ 内展开讨论．<br/><case>情形一</case>当 $\dfrac{1-a}{4a}\in [-1,1]$ 即 $a\in\left[\dfrac 15,+\infty\right)$ 时，函数 $|g(t)|$ 的最大值为$$\max\left\{\big|g(-1)\big|,\big|g(1)\big|,\left|g\left(\dfrac{1-a}{4a}\right)\right|\right\}.$$<case>情形二</case>当 $\dfrac{1-a}{4a}\not\in [-1,1]$ 即 $a\in\left(0,\dfrac 15\right)$ 时，函数 $|g(t)|$ 的最大值为$$\max\left\{\big|g(-1)\big|,\big|g(1)\big|\right\}.$$事实上，有$$\big|g(-1)\big|=a,\big|g(1)\big|=|3a-2|,\left|g\left(\dfrac{1-a}{4a}\right)\right|=\dfrac 18\left(a+\dfrac{1}{a}+6\right).$$<img src="/static/images/642723041a768249af78de505c8b673f.png" class="img-responsive" />注意到当 $a=\dfrac 15$ 和 $a=1$ 时三者的取值，结合作差比较大小，可得$$A=\begin{cases} 2-3a,& a\in\left(0,\dfrac 15\right),\\ \dfrac 18\left(a+\dfrac{1}{a}+6\right),&a\in \left[\dfrac 15,1\right],\\3a-2,&a\in (1,+\infty).\end{cases}$$ 备注2 问题3 证明：$|f'(x)|\leqslant 2A$． 答案3 略 解析3 由第 $(1)$ 小题知$$f'(x)=-2a\sin{2x}+(1-a)\sin x.$$<case>情形一</case>当 $a\in\left(0,\dfrac 15\right)$ 时，有$$|f'(x)|\leqslant |2a|+|1-a|=1+a\leqslant 4-6a=2A.$$<case>情形二</case>当 $a\in \left[\dfrac 15,1\right]$ 时，有 $|f'(x)|\leqslant 1+a$，而 $2A=\dfrac 14\left(a+\dfrac{1}{a}+6\right)$，由分析法，可得$$|f'(x)|\leqslant 2A\Leftarrow (3a+1)(a-1)\leqslant 0,$$这显然成立．<br/><case>情形三</case>当 $a\in (1,+\infty)$ 时，有$$|f'(x)|\leqslant |2a|+|a-1|=3a-1\leqslant 6a-4=2A.$$综上知，$|f'(x)|\leqslant 2A$． 备注3