题目 设函数 $f(x)=\ln x-x+1$． 问题1 讨论 $f(x)$ 的单调性； 答案1 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty)$ 上单调递减 解析1 根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac 1x-1=\dfrac {1-x}{x},x>0,$$所以 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty)$ 上单调递减． 备注1 问题2 证明：当 $x\in (1,+\infty)$ 时，$1<\dfrac {x-1}{\ln x}<x$； 答案2 略 解析2 待证不等式即$$1-\dfrac 1x<\ln x<x-1,x>1.$$事实上，由第 $(1)$ 小题知，$f(x)$ 的最大值为 $f(1)=0$，所以$$\ln x-x+1\leqslant 0,$$即$$\ln x\leqslant x-1,$$等号当且仅当 $x=1$ 时取得，这样就得到了右侧不等式．而当 $x>1$ 时，有 $0<\dfrac 1x<1$，此时有$$\ln\dfrac{1}{x}< \dfrac 1x-1,$$即$$\ln x>1-\dfrac 1x,$$这样就得到了左侧不等式．因此原不等式得证． 备注2 问题3 设 $c>1$，证明：当 $x\in (0,1)$ 时，$1+(c-1)x>c^x$． 答案3 略 解析3 设 $g(x)=c^x-(c-1)x-1,x\in [0,1]$，则所证不等式即 $\forall x\in (0,1),g(x)<0$．函数 $g(x)$ 的导函数$$g'(x)=c^x\cdot \ln c-(c-1)=\ln c\cdot\left(c^x-\dfrac {c-1}{\ln c}\right ).$$因为 $c>1$，所以 $\ln c>0$，由第 $(2)$ 小题知$$1<\dfrac{c-1}{\ln c}<c,$$从而 $g'(0)<0$ 且 $g'(1)>0$．<br/>结合 $g'(x)$ 是单调递增函数，于是 $g'(x)$ 在区间 $(0,1)$ 上有唯一零点，进而可得函数 $g(x)$ 在区间 $(0,1)$ 上先单调递减，再单调递增，又 $g(0)=g(1)=0$，从而可得在区间 $(0,1)$ 上，$g(x)<0$，原命题得证． 备注3