已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 过 $A(2,0),B(0,1)$ 两点．
【难度】
【出处】
2016年高考北京卷（文）
【标注】
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求椭圆 $C$ 的方程及离心率；标注答案$\dfrac{\sqrt 3}2$解析根据题意，有 $a=2$，$b=1$，于是椭圆的方程为$$\dfrac{x^2}4+y^2=1,$$其离心率 $e=\dfrac{\sqrt 3}2$．
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设 $P$ 为第三象限内一点且在椭圆 $C$ 上，直线 $PA$ 与 $y$ 轴交于点 $M$，直线 $PB$ 与 $x$ 轴交于点 $N$，求证：四边形 $ABNM$ 的面积为定值．标注答案定值为 $2$解析四边形 $ABNM$ 的面积 $S=\dfrac 12\cdot |AN|\cdot |BM|$．
设 $P$ 点坐标为 $(2\cos{\theta},\sin\theta)$，可求得 $M$ 点坐标为 $\left(0,\dfrac{\sin\theta}{1-\cos\theta}\right)$，$N$ 点坐标为 $\left(\dfrac{2\cos\theta}{1-\sin\theta},0\right)$，故$$\left|AN\right|\cdot\left|BM\right|=\left|\left(\dfrac{2\cos\theta}{1-\sin\theta}-2\right)\left(\dfrac{\sin\theta}{1-\cos\theta}-1\right)\right|=2\left|\dfrac{\left(\sin\theta+\cos\theta -1\right)^2}{\left(1-\sin\theta\right)\left(1-\cos\theta\right)}\right|=4,$$故四边形 $ABNM$ 的面积 $S=\dfrac 12\cdot |AN|\cdot |BM|=2$
因此原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
