已知 $A(-1,-1)$，$\triangle ABC$ 是正三角形，且 $B,C$ 在双曲线 $xy=1(x>0)$ 的同一支上．如图．
【难度】
【出处】
2007年清华大学自主招生暨领军计划试题
【标注】
-
求证：$B,C$ 关于直线 $y=x$ 对称；标注答案略解析设 $B(x_1,y_1),C(x_2,y_2)$，直线 $BC$ 的方程为 $y=kx+b$，其中 $k<0,b>0$，则联立直线与双曲线，有$$x(kx+b)=1,kx^2+bx-1=0,$$因此线段 $BC$ 的中点为 $\left(-\dfrac{b}{2k},\dfrac{b}{2}\right)$，于是线段 $BC$ 的垂直平分线方程为$$y=-\dfrac{1}{k}\left(x+\dfrac{b}{2k}\right)+\dfrac{b}{2},$$即$$y=-\dfrac1kx+\dfrac{b}{2}\left(1-\dfrac{1}{k^2}\right).$$由于 $A$ 在线段 $BC$ 的垂直平分线上，于是 $-1=\dfrac1k+\dfrac{b}{2}\left(1-\dfrac{1}{k^2}\right)$，即$$\left(1+\dfrac1k\right)\left[\dfrac{b}{2}\left(1-\dfrac1k\right)+1\right]=0,$$于是 $k=-1$．这就证明了 $B,C$ 关于直线 $y=x$ 对称．
-
求 $\triangle ABC$ 的周长．标注答案$6\sqrt6$解析由第 $(1)$ 小题得$$|BC|=\sqrt{1+k^2}\cdot\dfrac{\sqrt{b^2+4k}}{-k}=\sqrt2\cdot\sqrt{b^2-4},$$而 $A$ 到直线 $BC$ 的距离为 $\dfrac{|b+2|}{\sqrt2}$，所以$$\dfrac{|b+2|}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\sqrt2\cdot\sqrt{b^2-4},$$解得 $b=4$．
此时，$|BC|=2\sqrt6$，所以 $\triangle ABC$ 的周长为 $6\sqrt6$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
