题目 已知等差数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$ 的首项为 $a$，公差为 $b$，等比数列 $\left\{ {{b_n}} \right\}$ 的首项为 $b$，公比为 $a$，$n = 1,2, \cdots $，其中 $a,b$ 均为正整数，且 ${a_1} < {b_1} < {a_2} < {b_2} < {a_3}$． 问题1 求 $a$ 的值； 答案1 $2$ 解析1 因为$${a_n} = a + \left( {n - 1} \right)b,{b_n} = b \cdot {a^{n - 1}}.$$所以由条件 ${a_1} < {b_1} < {a_2} < {b_2} < {a_3}$ 得$$ a < b < a + b < ab < a + 2b.$$因为 $a < b$，所以$$b \geqslant a + 1,$$而 $ab < a + 2b $，所以$$ \left( {a - 2} \right)\left( {b - 1} \right) < 2,$$所以$$2 > a\left( {a - 2} \right),$$解得 $a = 2$． 备注1 问题2 若对于 $\left\{ {{a_n}} \right\}$，$\left\{ {{b_n}} \right\}$，存在关系式 ${a_m} + 1 = {b_n}$，试求 $b$ 的值； 答案2 $3$ 解析2 由$${a_m} + 1 = {b_n},$$得$$2 + \left( {m - 1} \right)b + 1 = b \cdot {2^{n - 1}},$$即$$b\left(2^{n-1}-m+1\right)=3,$$因为 $b>a=2$，所以 $b=3$，此时$$ 2^{n-1}-m+1=1 $$有解，所以 $b$ 取 $3$． 备注2 问题3 对于满足 $(2)$ 中关系式的 ${a_m}$，试求 ${a_1} + {a_2} + \cdots + {a_m}$． 答案3 $3 \cdot {2^{2n - 3}} + {2^{n - 2}}$ 解析3 $b = 3$ 时，$(2)$ 中的关系式为$${2^{n - 1}} = m,{a_n} = 2 + 3\left( {n - 1} \right) = 3n - 1.$$因此$${a_1} + {a_2} + \cdots + {a_m} = \dfrac{{\left( {3m - 1 + 2} \right) \cdot m}}{2} = 3 \cdot {2^{2n - 3}} + {2^{n - 2}}.$$ 备注3